NYOJ 299

(前言：这是一道关于矩阵快速幂的问题，介绍矩阵快速幂之前，首先看“快速幂”问题。 在前面的博客里有记录到快速幂取模算法，不过总体的思想总是和取模运算混淆在一起，而忽略了“快速幂”运算本身。计算a^b本来就是一个可以加速的过程，“快速幂取模”运算只不过是“快速幂”算法的一个应用罢了。)

一、快速幂运算

这次我们关注快速幂本身：

我们知道离散化处理信息是计算机的热点，把连续数据存储为二进制离散数据是计算机的硬件要求。那么快速幂运算能否也运用这一思想呢，答案是肯定的。

容易发现：A¹⁹  =  （A¹⁶）*（A²）*（A¹），而我们在计算A¹⁶的过程中可以通过A⁸*A⁸来得到，而A⁸同样可以通过A⁴*A⁴来得到，这样以来本来需要16次乘法运算得到的只需要log(16)=4次即可。

　　A*A = A²

　　A²*A² = A⁴

　　A⁴*A⁴ = A⁸

　　A⁸*A⁸ =A¹⁶

再举例计算A¹⁴⁸.我们知道148₁₀=10010100_2,也就有A¹⁴⁸=A¹²⁸*A¹⁶*A⁴. 观察二进制形式的因子，容易发现这样的规律早就在二进制表示中显露出来了：10010100₂₌10000000₂+00010000₂+00000100₂ =128+16+4。

核心代码表示为：  (第3行代码每进行一次，二进制数就少了最后面的一个1。二进制数有多少个1就第3行代码就执行多少次。)

 //在一路的A^x次方(x=1,2,4,8,16,...)的结果中，res通过“n的二进制位的值”来选取组成自己的“元素”
 while(n){
     )
         res=res*A;
     n>>=;
     A=A*A;
 }    

测试：

 #include <iostream>
 using namespace std;
 //快速计算 A^n
 int main(){
     int A,n;
     ;
     cin>>A>>n;

     //在一路的A^x次方(x=1,2,4,8,16,...)的结果中，res通过“n的二进制位的值”来选取组成自己的“元素”
     while(n){
         )
             res=res*A;
         n>>=;
         A=A*A;
     }
     cout<<res;
 } 

有输入的A^n

二、快速幂取模   a^b%c

现在对于a^b我们已经拿到尚方宝剑了，我们知道指数运算往往是很容易突破数据储存长度的（long long int 也才64位），所以一些方案处理中要求的只是a^b%c而已。（反正这类问题客观存在，你就当我为它的存在杜撰了一个理由吧）

这时候可以运用取模运算的性质：(a*a)%c = (a%c)(a%c)%c

那这样取模运算就可以“镶嵌”在快速幂运算中了：   （if语句中“b%2==1”和上面的“n&1”的写法是一样的）

 ;
 a%=c;
 ){
     ==){
         num=(num*a)%c;
     }
     b>>;     //这一步将b->log2(b)
     a=(a*a)%c;
 }

三、矩阵快速幂

矩阵快速幂的思想就是跟数的快速幂一样，不过是把“数”换成“矩阵”罢了，在之前的数的乘法运算是用“*”直接运算，而这里需要单独写一个两矩阵相乘的函数以供调用。

这里展示一个示例程序：

 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <iostream>
 using namespace std;

 int N;

 struct matrix{
        ][];
 }origin,res;

 matrix multiply(matrix x,matrix y){
        matrix temp;
        memset(temp.a,,sizeof(temp.a));
        ;i<;i++) {
                ;j<;j++) {
                        ;k<;k++) {
                                temp.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
                        }
                }
        }
        return temp;
 }

 void init(){
      printf("随机数组如下:\n");
      ;i<;i++){
              ;j<;j++){
                      origin.a[i][j]=rand()%;
                      printf("%8d",origin.a[i][j]);
              }
              printf("\n");
      }
      printf("\n");
      memset(res.a,,sizeof(res.a));
      res.a[][]=res.a[][]=res.a[][]=;                  //将res.a初始化为单位矩阵
 }

 void calc(int n){
      printf("%d次幂结果如下：\n",n);
      while(n) {
              )
                     res=multiply(res,origin);
              n>>=;
              origin=multiply(origin,origin);
      } 

      ;i<;i++) {
              ;j<;j++)
                      printf("%8d",res.a[i][j]);
              printf("\n");
      }
      printf("\n");
 }

 int main(){
     while(cin>>N) {
             init();
             calc(N);
     }
     ;
 }

矩阵 快速幂 演示

四、矩阵快速幂的应用

矩阵题目的难点在于构造矩阵，一般用于有能够推出递推式的题目，推出递推式之后，发现递推O(n)的时间复杂度比较大，那么我们可以构造一个矩阵，然后用矩阵快速幂降低到log(n)的时间复杂度

在NYOJ 299中

Fk = A + A² + A³ + … + A^k

F(k-1) = A + A² + A³ + … + A^k-1

故 Fk = A + A*F(k-1)

那么可以构造矩阵：

(Fk ，1 ) =  (Fk-1 ，1) * (A，0; A，1) = (F1 , 1) * (A，0;A，1)^K-1

这样就可以运用矩阵快速幂了。

参考：

2. http://www.cnblogs.com/yan-boy/archive/2012/11/29/2795294.html

3. http://blog.csdn.net/chenguolinblog/article/details/10309423

4. http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/39694583

5. http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/39716951

6. http://www.matrix67.com/blog/archives/276