图解AI数学基础 | 线性代数与矩阵论

作者：韩信子@ShowMeAI

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1.标量（Scalar）

一个标量就是一个单独的数。只具有数值大小，没有方向（部分有正负之分），运算遵循一般的代数法则。

• 一般用小写的变量名称表示。
• 质量\(m\)、速率\(v\)、时间\(t\)、电阻\(\rho\) 等物理量，都是数据标量。

2.向量（Vector）

向量指具有大小和方向的量，形态上看就是一列数。

• 通常赋予向量粗体小写的名称；手写体则在字母上加一个向右的箭头。

• 向量中的元素是有序排列的，通过索引可以确定每个元素。

• 以下两种方式，可以明确表示向量中的元素时（注意用方括号）。

• 可以把向量看作空间中的有向线段，向量的每个组成元素，对应向量在不同的坐标轴上的投影长度。

AI中的应用：在机器学习中，单条数据样本的表征都是以向量化的形式来完成的。向量化的方式可以帮助AI算法在迭代与计算过程中，以更高效的方式完成。

3.矩阵（Matrix）

矩阵是二维数组，其中的每一个元素被两个索引确定。矩阵在机器学习中至关重要，无处不在。

• 通常会赋予矩阵粗体大写的变量名称。

AI中的应用：样本以矩阵形态表示：\(m\)条数据/样本，\(n\)个特征的数据集，就是一个\(m \times n\)的矩阵。

4.张量（Tensor）

几何代数中定义的张量，是基于向量和矩阵的推广。

• 标量，可以视为零阶张量
• 向量，可以视为一阶张量
• 矩阵，可以视为二阶张量

• 图片以矩阵形态表示：将一张彩色图片表示成一个\(H \times W \times C\)的三阶张量，其中\(H\)是高，\(W\)是宽，\(C\)通常取3，表示彩色图3个颜色通道。
• 在这个例子的基础上，将这一定义继续扩展，即：用四阶张量（样本，高度，宽度，通道）表示一个包含多张图片的数据集，其中，样本表示图片在数据集中的编号。

• 用五阶张量（样本，帧速，高度，宽度，通道）表示视频。

AI中的应用：张量是深度学习中一个非常重要的概念，大部分的数据和权重都是以张量的形态存储的，后续的所有运算和优化算法也都是基于张量进行的。

5.范数（Norm）

范数是一种强化了的距离概念；简单来说，可以把『范数』理解为『距离』。

在数学上，范数包括『向量范数』和『矩阵范数』：

• 向量范数（Vector Norm），表征向量空间中向量的大小。向量空间中的向量都是有大小的，这个大小就是用范数来度量。不同的范数都可以来度量这个大小，就好比米和尺都可以来度量远近一样。

• 矩阵范数（Matrix Norm），表征矩阵引起变化的大小。比如，通过运算\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{X} = \boldsymbol{B}\)，可以将向量\(\boldsymbol{X}\)变化为\(\boldsymbol{B}\)，矩阵范数就可以度量这个变化的大小。

向量范数的计算：

对于\(\mathrm{p} -\)范数，如果\(\boldsymbol{x}=\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]^{\mathrm{T}}\)，那么向量\(\boldsymbol{x}\)的\(\mathrm{p} -\)范数就是\(\|\boldsymbol{x}\|_{p}=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\cdots+\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\)。

L1范数：\(|| \boldsymbol{x}||_{1}=\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\left|x_{3}\right|+\cdots+\left|x_{n}\right|\)

• \(\mathrm{p} =1\)时，就是L1范数，是\(\boldsymbol{x}\)向量各个元素的绝对值之和。

• L1范数有很多的名字，例如我们熟悉的曼哈顿距离、最小绝对误差等。

L2范数：\(\|\boldsymbol{x}\|_{2}=\left(\left|x_{1}\right|^{2}+\left|x_{2}\right|^{2}+\left|x_{3}\right|^{2}+\cdots+\left|x_{n}\right|^{2}\right)^{1 / 2}\)

• \(\mathrm{p} =2\)时，就是L2范数，是\(\boldsymbol{x}\)向量各个元素平方和的开方。

• L2范数是我们最常用的范数，欧氏距离就是一种L2范数。

AI中的应用：在机器学习中，L1范数和L2范数很常见，比如『评估准则的计算』、『损失函数中用于限制模型复杂度的正则化项』等。

6.特征分解（Eigen-decomposition）

将数学对象分解成多个组成部分，可以找到他们的一些属性，或者能更高地理解他们。例如，整数可以分解为质因数，通过\(12=2 \times 3 \times 3\)可以得到『12的倍数可以被3整除，或者12不能被5整除』。

同样，我们可以将『矩阵』分解为一组『特征向量』和『特征值』，来发现矩阵表示为数组元素时不明显的函数性质。特征分解（Eigen-decomposition）是广泛使用的矩阵分解方式之一。

• 特征向量：方阵\(\boldsymbol{A}\)的特征向量，是指与\(\boldsymbol{A}\)相乘后相当于对该向量进行缩放的非零向量，即\(\boldsymbol{A}\nu =\lambda \nu\)。

• 特征值：标量\(\lambda\)被称为这个特征向量对应的特征值。

使用特征分解去分析矩阵\(\boldsymbol{A}\)时，得到特征向量\(\nu\)构成的矩阵\(\boldsymbol{Q}\)和特征值构成的向量\(\boldsymbol{\Lambda }\)，我们可以重新将\(\boldsymbol{A}\)写作：\(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^{-1}\)

7.奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）

矩阵的特征分解是有前提条件的。只有可对角化的矩阵，才可以进行特征分解。实际很多矩阵不满足这一条件，这时候怎么办呢？

将矩阵的『特征分解』进行推广，得到一种被称为『矩阵的奇异值分解』的方法，即将一个普通矩阵分解为『奇异向量』和『奇异值』。通过奇异值分解，我们会得到一些类似于特征分解的信息。

将矩阵\(\boldsymbol{A}\)分解成三个矩阵的乘积\(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{U} \boldsymbol{D} \boldsymbol{V}^{-1}\)。

• 假设\(\boldsymbol{A}\)是一个\(m*n\)矩阵，那么\(\boldsymbol{U}\)是一个\(m*m\)矩阵，\(D\)是一个\(m*n\)矩阵，\(V\)是一个\(n*n\)矩阵。

• \(\boldsymbol{U} \boldsymbol{V} \boldsymbol{D}\)这几个矩阵都拥有特殊的结构：

  • \(\boldsymbol{U}\)和\(\boldsymbol{V}\)都是正交矩阵，矩阵\(\boldsymbol{U}\)的列向量被称为左奇异向量，矩阵\(\boldsymbol{V}\) 的列向量被称右奇异向量。

  • \(\boldsymbol{D}\)是对角矩阵（注意，\(\boldsymbol{D}\)不一定是方阵）。对角矩阵\(\boldsymbol{D}\)对角线上的元素被称为矩阵\(\boldsymbol{A}\)的奇异值。

AI中的应用：SVD最有用的一个性质可能是拓展矩阵求逆到非方矩阵上。而且大家在推荐系统中也会见到基于SVD的算法应用。

8.Moore-Penrose广义逆/伪逆（Moore-Penrose Pseudoinverse）

假设在下面问题中，我们想通过矩阵\(\boldsymbol{A}\)的左逆\(\boldsymbol{B}\)来求解线性方程：\(\boldsymbol{A} x=y\)，等式两边同时左乘左逆B后，得到：\(x=\boldsymbol{B} y\)。是否存在唯一的映射将\(\boldsymbol{A}\)映射到\(\boldsymbol{B}\)，取决于问题的形式：

• 如果矩阵\(\boldsymbol{A}\)的行数大于列数，那么上述方程可能没有解；

• 如果矩阵\(\boldsymbol{A}\)的行数小于列数，那么上述方程可能有多个解。

Moore-Penrose伪逆使我们能够解决这种情况，矩阵\(\boldsymbol{A}\)的伪逆定义为：

\[\boldsymbol{A}^{+}=\lim _{a \rightarrow 0}\left(\boldsymbol{A}^{T} \boldsymbol{A}+\alpha \boldsymbol{I}\right)^{-1} \boldsymbol{A}^{T}
\]

但是计算伪逆的实际算法没有基于这个式子，而是使用下面的公式：

\[\boldsymbol{A}^{+}=\boldsymbol{U} \boldsymbol{D}^{+} \boldsymbol{V}^{T}
\]

• 矩阵\(\boldsymbol{U}\)、\(\boldsymbol{D}\)和\(\boldsymbol{V}^{T}\)是矩阵\(\boldsymbol{A}\)奇异值分解后得到的矩阵；

• 对角矩阵\(\boldsymbol{D}\)的伪逆\(\boldsymbol{D}^{+}\)是其非零元素取倒之后再转置得到的。

9.常用的距离度量

在机器学习里，大部分运算都是基于向量的，一份数据集包含n个特征字段，那每一条样本就可以表示为n维的向量，通过计算两个样本对应向量之间的距离值大小，有些场景下能反映出这两个样本的相似程度。还有一些算法，像KNN和K-means，非常依赖距离度量。

设有两个\(n\)维变量：

\[A=[ x_{11}, x_{12},...,x_{1n} ] ^{T}
\]

\[B=[ x_{21} ,x_{22} ,...,x_{2n} ] ^{T}
\]

一些常用的距离公式定义如下：

1）曼哈顿距离（Manhattan Distance）

曼哈顿距离也称为城市街区距离，数学定义如下：

\[d_{12} =\sum_{k=1}^{n}{| x_{1k}-x_{2k} | }
\]

曼哈顿距离的Python实现：

import numpy as np
vector1 = np.array([1,2,3])
vector2 = np.array([4,5,6])

manhaton_dist = np.sum(np.abs(vector1-vector2))
print("曼哈顿距离为", manhaton_dist)

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2）欧氏距离（Euclidean Distance）

欧氏距离其实就是L2范数，数学定义如下：

\[d_{12} =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}{( x_{1k} -x_{2k} ) ^{2} } }
\]

欧氏距离的Python实现：

import numpy as np
vector1 = np.array([1,2,3])
vector2 = np.array([4,5,6])

eud_dist = np.sqrt(np.sum((vector1-vector2)**2))
print("欧式距离为", eud_dist)

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3）闵氏距离（Minkowski Distance）

从严格意义上讲，闵可夫斯基距离不是一种距离，而是一组距离的定义：

\[d_{12} =\sqrt[p]{\sum_{k=1}^{n}{( x_{1k} -x_{2k} ) ^{p} } }
\]

实际上，当\(p=1\)时，就是曼哈顿距离；当\(p=2\)时，就是欧式距离。

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4）切比雪夫距离（Chebyshev Distance）

切比雪夫距离就是无穷范数，数学表达式如下：

\[d_{12} =max( | x_{1k}-x_{2k} |)
\]

切比雪夫距离的Python实现如下：

import numpy as np
vector1 = np.array([1,2,3])
vector2 = np.array([4,5,6])

cb_dist = np.max(np.abs(vector1-vector2))
print("切比雪夫距离为", cb_dist)

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5）余弦相似度（Cosine Similarity）

余弦相似度的取值范围为[-1,1]，可以用来衡量两个向量方向的差异：

• 夹角余弦越大，表示两个向量的夹角越小；
• 当两个向量的方向重合时，夹角余弦取最大值1；
• 当两个向量的方向完全相反时，夹角余弦取最小值-1。

机器学习中用这一概念来衡量样本向量之间的差异，其数学表达式如下：

\[cos\theta =\frac{AB}{| A | |B | } =\frac{\sum_{k=1}^{n}{x_{1k}x_{2k} } }{\sqrt{\sum_{k=1}^{n}{x_{1k}^{2} } } \sqrt{\sum_{k=1}^{n}{x_{2k}^{2} } } }
\]

夹角余弦的Python实现：

import numpy as np
vector1 = np.array([1,2,3])
vector2 = np.array([4,5,6])

cos_sim = np.dot(vector1, vector2)/(np.linalg.norm(vector1)*np.linalg.norm(vector2))
print("余弦相似度为", cos_sim)

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6）汉明距离（Hamming Distance）

汉明距离定义的是两个字符串中不相同位数的数目。例如，字符串‘1111’与‘1001’之间的汉明距离为2。信息编码中一般应使得编码间的汉明距离尽可能的小。

\[d_{12} = \sum_{k=1}^{n} \left ( x_{1k} \oplus x_{2k}\right )
\]

汉明距离的Python实现：

import numpy as np
a=np.array([1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0])
b=np.array([1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1])
hanm_dis = np.count_nonzero(a!=b)
print("汉明距离为", hanm_dis)

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7）杰卡德系数（Jaccard Index）

两个集合\(A\)和\(B\)的交集元素在\(A\)和\(B\)的并集中所占的比例称为两个集合的杰卡德系数，用符号\(J(A,B)\)表示，数学表达式为：

\[J( A,B ) =\frac{| A\cap B| }{|A\cup B | }
\]

杰卡德相似系数是衡量两个集合的相似度的一种指标。一般可以将其用在衡量样本的相似度上。

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8）杰卡德距离（Jaccard Distance）

与杰卡德系数相反的概念是杰卡德距离，其定义式为：

\[J_{\sigma} =1-J( A,B ) =\frac{| A\cup B | -| A\cap B | }{| A\cup B | }
\]

杰卡德距离的Python实现：

import numpy as np
vec1 = np.random.random(10)>0.5
vec2 = np.random.random(10)>0.5

vec1 = np.asarray(vec1, np.int32)
vec2 = np.asarray(vec2, np.int32)

up=np.double(np.bitwise_and((vec1 != vec2),np.bitwise_or(vec1 != 0, vec2 != 0)).sum())
down=np.double(np.bitwise_or(vec1 != 0, vec2 != 0).sum())
jaccard_dis =1-(up/down)
print("杰卡德距离为", jaccard_dis)

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