Solution -「ROI 2019」「LOJ #3192」课桌

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  原题意足够简洁啦。（

\(\mathcal{Solution}\)

  乍一看比较棘手，但可以从座位的安排方式入手，有结论：

  一个班的学生按身高排序后，相邻的两两坐在一桌。

  证明略，比较显。

  第二个结论：

  设按上述方案分桌，从左至右将每桌编号为 \(1\sim n\)。则每个班级的第 \(i\) 号桌都坐在同一个位子。

  考虑交换两桌不能使答案变优即证。

  考试的时候结论都看出来了结果写假了你敢信 qwq。

  再来考虑桌子，如果一张桌子的区间被另一桌子的区间覆盖，则这张桌子一定不需要。所以剩下的区间按左端点升序排列后，右端点亦为升序。则若第 \(i_1\) 桌选用 \(j_1\) 号桌子，第 \(i_2\) 桌选用 \(j_2\) 号桌子，就会有 \(i_1<i_2\Leftrightarrow j_1\le j_2\) 成立。所以直接决策单调性分治优化求解即可。复杂度 \(\mathcal O(nm+k\log k\log n)\)。

\(\mathcal{Code}\)

/* Clearink */

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cassert>
#include <algorithm>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, repEnd##i = r; i <= repEnd##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, repEnd##i = l; i >= repEnd##i; --i )

typedef long long LL;
typedef std::pair<int, int> PII;
#define fi first
#define se second

inline int rint() {
	int x = 0, s = getchar();
	for ( ; s < '0' || '9' < s; s = getchar() );
	for ( ; '0' <= s && s <= '9'; s = getchar() ) x = x * 10 + ( s ^ '0' );
	return x;
}

const int MAXN = 2e5;
int n, m, c, h[MAXN * 2 + 5];
LL pre[MAXN * 2 + 5], suf[MAXN * 2 + 5];
PII desk[MAXN + 5];
std::vector<int> group[MAXN + 5];

inline LL solve( const int gl, const int gr, const int dl, const int dr ) {
	if ( gl > gr ) return 0;
	int gm = gl + gr >> 1, dm = -1, sz = ( m << 1 ) - 1;
	std::vector<int>& curG = group[gm];
	std::sort( curG.begin(), curG.end() );
	rep ( i, 0, sz ) pre[i] = ( i ? pre[i - 1] : 0 ) + curG[i];
	per ( i, sz, 0 ) suf[i] = suf[i + 1] + curG[i];
	LL res = 1ll << 60;
	rep ( i, dl, dr ) {
		int l = desk[i].fi, r = desk[i].se;
		int cl = std::lower_bound( curG.begin(),
			curG.end(), l ) - curG.begin();
		int cr = std::upper_bound( curG.begin(),
	 		curG.end(), r ) - curG.begin() - 1;
		LL cost = 1ll * l * cl - ( cl ? pre[cl - 1] : 0 )
			+ suf[cr + 1] - 1ll * r * ( sz - cr );
		if ( cost < res ) res = cost, dm = i;
	}
	return res + solve( gl, gm - 1, dl, dm ) + solve( gm + 1, gr, dm, dr );
}

int main() {
	// freopen( "desk.in", "r", stdin );
	// freopen( "desk.out", "w", stdout );
	m = rint(), n = rint(), c = rint();
	rep ( i, 1, c ) desk[i].fi = rint(), desk[i].se = rint();
	std::sort( desk + 1, desk + c + 1 );
	int idx = 0;
	rep ( i, 1, c ) {
		desk[idx += desk[i].fi != desk[i - 1].fi] = desk[i];
	}
	c = idx;
	rep ( i, 1, m ) {
		rep ( j, 1, n << 1 ) h[j] = rint();
		std::sort( h + 1, h + ( n << 1 | 1 ) );
		rep ( j, 1, n << 1 ) group[j + 1 >> 1].push_back( h[j] );
	}
	printf( "%lld\n", solve( 1, n, 1, c ) );
	return 0;
}