FFT 傅里叶万岁

FFT --- Fast Foulier Transformation

以 $O(n \log n)$ 的速度计算 $\forall k=1,2,\dots,n, c[k]=\sum\limits_{i=0}^{k} a[i]b[k-i]$

**command_block 大神's blog**

记住，要 10min 内默出来！

注意事项：

1. $tr[i]$ 是算出 $i$ 的二进制翻转的。
2. 一定要判断 $is_idft$，如果是则 $w$ 虚部要取反。
3. $n$ 必须是 2 的幂。

对于 $\forall k=1,2,\dots,n, c[k]=\sum\limits_{i=0}^{k} a[i]b[k+c+i]$ 这样的方式：

令 $ b'[i]=b[n-i] $

则 $  b[k+c-i]=b'[n-(k+c-i)]=b'[(n-k-c)-i] $

于是 $ c[k]=\sum\limits_{i=0}^{k} a[i]b[k+c+i]=\sum\limits_{i=0}^{k} a[i]b'[(n-k-c)-i] $

若 $n-k-c \geq k$，则 $c[k]=\sum\limits_{i=0}^{k} a[i]b'[(n-k-c)-i] =\sum\limits_{i=0}^{n-k-c} a[i]b'[(n-k-c)-i] (let\  a[j]=0, \forall k \lt j \leq n-k-c) $

卷积！