[cf1209E]Rotate Columns

题意也可以理解为这样一个过程：

对于每一列，将其旋转后选出若干行上的数，要求与之前的行都不同

用$g_{i,S}$表示第$i$列选出的行数集合为$S$的最大和，$f_{i,S}$表示前$i$列$S$中的行已经选择的最大和，转移通过枚举子集，复杂度为$o(Qm3^{n})$

关于$g_{i,S}$的计算可以先预处理$sum_{i,S}$表示第$i$列$S$这些行的和（不旋转），接下来枚举旋转，用二进制简单维护，复杂度为$o(Qnm2^{n})$

（代码中利用的是找到其最小表示法，并直接从最小表示法处转移，如果定义轮换相同，则本质不同的串根据polya定理大约为$o(\frac{2^{n}}{n})$，暴力$o(n^{2})$统计复杂度相同）

进一步的，只需要选择最大值最大的$n$列（相同任取）即可，如果在另外一列选择，那么这$n$列中一定有一个列被选择，同时那一列中可以任意旋转，用该列最大值来替换这“另外一列”一定不劣

最终时间复杂度为$o(Qn3^{n}+Qn^{2}2^{n})$，可以通过

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 12
 4 #define M 2005
 5 int t,n,m,a[M][N],mx[1<<N],f[N+5][1<<N];
 6 pair<int,int>b[M];
 7 int main(){
 8     scanf("%d",&t);
 9     while (t--){
10         scanf("%d%d",&n,&m);
11         for(int i=0;i<n;i++)
12             for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&a[j][i]);
13         for(int i=1;i<=m;i++){
14             b[i].first=0;
15             for(int j=0;j<n;j++)b[i].first=max(b[i].first,a[i][j]);
16             b[i].first*=-1;
17             b[i].second=i;
18         }
19         sort(b+1,b+m+1);
20         m=min(n,m);
21         for(int ii=1;ii<=m;ii++){
22             int i=b[ii].second;
23             for(int j=0;j<(1<<n);j++){
24                 mx[j]=0;
25                 int s=j;
26                 for(int k=1;k<n;k++)s=min(s,(j>>k)+((j&((1<<k)-1))<<(n-k)));
27                 if (s==j){
28                     for(int k=0;k<n;k++){
29                         int s=0;
30                         for(int l=0;l<n;l++)
31                             if (j&(1<<l))s+=a[i][(k+l)%n];
32                         mx[j]=max(mx[j],s);
33                     }
34                 }
35                 else mx[j]=mx[s];
36             }
37             for(int j=0;j<(1<<n);j++){
38                 f[ii][j]=0;
39                 for(int k=j;;k=((k-1)&j)){
40                     f[ii][j]=max(f[ii][j],f[ii-1][k]+mx[j^k]);
41                     if (!k)break;
42                 }
43             }
44         }
45         printf("%d\n",f[m][(1<<n)-1]);
46     }
47     return 0;
48 }