CF1076B Divisor Subtraction 题解

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给定一个数 \(n\)，执行如下操作：

1. 如果 \(n=0\) 结束操作。
2. 找到 \(n\) 的最小质因子 \(d\)。
3. \(n\leftarrow n-d\) 并跳到操作 \(1\)。

请求出循环操作的次数。

数据范围：\(2\leqslant n\leqslant 10^{10}\)。

Solution

首先我们看是否是素数，如果是素数的话，那么其最小质因子一定是它本身，那么答案就是 \(1\)。

如果不是素数，我们再根据奇偶性来分类讨论。由于偶数的情况比较简单，我们先讨论 \(n\) 是偶数的情况。很显然，其最小质因子一定是 \(2\)，并且因为减完以后还是偶数，所以一定会不停地减 \(2\)，所以答案就是 \(\dfrac{n}{2}\)。

最后再看到奇合数，我们找到一个最小的质因子 \(d'\) 之后减去，因为奇合数一定都是由奇质数相乘得到，所以找到的最小质因子也一定是奇数，而我们都知道，奇数减奇数等于偶数，所以就又回到了偶数的情况了，所以答案就是 \(\dfrac{n-d'}{2}+1\)。

由于 \(n\leqslant 10^{10}\)，所以我们判断 \(n\) 是否是素数可以直接用 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 的试除法判断是否是素数，然后看最小质因子时，可以先用埃氏筛筛出 \(10^5\) 以内的素数，然后再去一个一个找最小的质因子即可，并且可以证明，寻找最小质因子最多只需要 \(1\) 次，所以复杂度可以算得上很优秀的了。

Code

long long n;
int isprime[100007];

bool prime(long long x) {
	for(int i = 2; i <= sqrt(x); ++i)
		if(!(x % i)) return 0;
	return 1;
}
void pre() {
	for(int i = 2; i <= 100000; ++i) isprime[i] = 1;
	for(int i = 2; i <= 100000; ++i)
		if(isprime[i])
			for(int j = i * 2; j <= 100000; j += i)
				isprime[j] = 0;
}
void work(long long x) {
	pre();
	for(int i = 2; i <= sqrt(x); ++i)
		if(!(x % i) && isprime[i]) {
			if(x % 2) printf("%lld", (x - i) / 2 + 1);
			else printf("%lld", x / 2);
			return;
		}
	return;
}

int main() {
	scanf("%lld", &n);
	if(prime(n)) printf("1");
	else work(n);
}