蒙特卡洛——使用CDF反函数生成非均匀随机数

均匀随机数生成

  先来说说均匀随机数生成，这是非均匀随机数的生成基础。

  例如，我们现在有drand()函数，可以随机生成[0,1]范围内的均匀随机数.

要求一个drand2()函数，能够生成[0,2]内的均匀随机数。

  显然有：

\[drand2()=2*drand()
\]

  但是很多时候，我们希望生成的随机数是有一定概率偏向的。

  比如生成[0,2]的随机数，越偏向2的数，出现的概率越大，显然上面的\(2*drand()\)无法满足要求。

  例如，我们的随机数的概率密度分布如下：

生成指定概率密度的随机数

  先上结论：

  设概率密度函数\(f(x)\)，概率累计分布函数\(F(x)\)，生成概率密度为\(f(x)\)的随机数的函数如下：

\[F^{-1}(drand())
\]

  那么，为什么使用累积分布函数(CDF)的反函数，就能生成符合概率密度分布函数(PDF)的随机数呢？

证明

  设概率密度函数\(f(x)\)，概率累计分布函数\(F(x)\)，\(\xi\)表示服从\((0,1)\)均匀分布的随机变量，变换函数为\(G\)，随机变量\(X=G(\xi)\)，其中\(F(x)\)为单调递增函数。

  由概率分布定义知：

\[P\{X<a\}=F(a)
\]

\[P\{G(\xi)<a\}=F(a)
\]

  若\(G(\xi)\)为单调递增函数，可得：

\[P\{\xi<G^{-1}(a)\}=F(a)
\]

  已知\(\xi\)在\((0,1)\)上均匀分布，可得：

\[P\{\xi<b\}=b,b \in (0,1)
\]

\[P\{\xi<G^{-1}(a)\}=F(a)=G^{-1}(a)
\]

  故有F,G互为反函数，即：

\[X=G(\xi)=F^{-1}(\xi)
\]

  更多拓展见：https://zhuanlan.zhihu.com/p/191487550