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背景

数论学家利用费马小定理研究出了多种素数测试办法,Miller-Rabbin 素数测试算法是其中较快的一种。

步骤

(1)计算奇数M,使得N=2^r * M + 1;

(2)选择随机数A<N;

(3)对于任意i<r,若A^(2^i*M) mod N = N - 1,则N通过随机数A的测试;

(4)或者,若A^M mod N = 1,则N通过随机数A的测试;

(5)让A取不同的值对N进行行多次测试(一般要求5~10次,有较高要求的话可以进行20~30次),若全部通过则判定N为素数;

概率

若N通过一次测试,则N不是素数的概率为25%;

若N通过 t 次测试,则N不是素数的概率为1/( 4 ^ t );

事实上,当 t = 5 时,N不是素数的概率已为1/128,已经大于99.99%。

在实际运用中,可首先用300~500个小素数对N进行测试,以提高测试通过的概率与算法的速度。在随机生成的素数中,选取的随机数最好让 r = 0,则可以省去步骤(3)的操作,进一步减少判定时间。

代码

#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int count=;
int modular_exp(int a,int m,int n)
{
if(m==)
return ;
if(m==)
return (a%n);
long long w=modular_exp(a,m/,n);
w=w*w%n;
if(m&)
w=w*a%n;
return w;
}
bool Miller_Rabin(int n)
{
if(n==)
return true;
for(int i=;i<count;i++)
{
int a=rand()%(n-)+;
if(modular_exp(a,n,n)!=a)
return false;
}
return true;
}
int main()
{
srand(time(NULL));
int n;
scanf("%d",&n);
if(Miller_Rabin(n))
printf("Probably a prime.");
else
printf("A composite.");
printf("\n");
return ;
}

Time:2017-02-07

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