整数中1出现的次数（从1到n的整数中1出现的次数）

题目

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数。

思考

方法1:

依次从 1 到 n 遍历，统计每个数中 1 出现的次数，然后累加起来。时间复杂度：遍历 n 个数，每次统计可以在 log(n) 时间内完成，因此 O(nlog(n))。

方法2：

新的角度：给定 N，统计“小于 N 的数在每一位上可能出现 1 的次数” 之和，可得到最终的解。使用函数 f(N) 表示。

1 位数的情况

如果 N=4，则所有可考虑的数为： 1,2,3,4 由此可得 f(N) = 1。不难看出对于所有 1<=N<=9, f(N) = 1，特殊的有 f(0)=0。

2 位数的情况

假设 N=14，可考虑的数为：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14。

个位上出现 1 的情况：1,11； 2个

十位上出现 1 的情况：10, 11, 12, 13, 14；5个

综合：f(N)=个位数的情况 + 十位数的情况 = 2 + 5 = 7

一般的，

• 个位上 1 的个数统计可以有两种情况：
  • 情况 1 : 当前数字 N 个位数是 0，则个位上 1 出现的次数为十位出现的数。（比如 N=10，个位上出现 1 的次数是 1）
  • 情况 2 ：当前数字 N 个位数大于 0， 则个位上 1 出现的次数为十位出现的数加 1。（比如 N=14，个位上出现 1 的次数是 1+1=2，及 1 和 11）
• 十位上 1 的个数统计：
  • 情况 1 : 当十位上的数为 1 时，则十位上出现 1 的次数为：个位上的数加 1 （比如 N=14, 十位上出现 1 的次数 = 4+1=5，及：10，11，12，13，14）
  • 情况 2 ：当十位上的数大于 1 时，则十位上出现 1 的次数为 10 次。（比如 N=24, 十位上出现 1 的次数 = 10，及：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19）

其他两位数字可以类似的方法很快计算出来

3 位数的情况

假设 N = 132

• 个位上出现 1 的次数为 14 次：1,11,21,...,91,101,111,121,131
• 十位上出现 1 的次数为 20 次：10~19, 110~119
• 百位上出现 1 的次数为 33 次：100~132

一般化

同理可以计算 4，5，甚至 k 位数中 1 的个数。

一般的，假设有数 N = a_k... a₁

我们可以将数字分成 3 个部分，高位部分，当前计算的位置，低位部分；如果计算第 i 位上出现 1 的次数，则高位部分为 a_k...a_i+1，当前计算位置 a_i，低位部分 a_i-1...a₁。而第 i 位上出现 1 的次数所受影响的来源也将分配到这 3 个部分当中。

在来一个例子，假设 N = 13014

• 个位出现 1 的次数，ihight=1301, icur = 4，因此 icur > 1，所以 1 的次数为 ihight+1 = 1302
• 十位出现 1 的次数，ihight=130, icur=1, ilow=4，因此 1 的次数为 ihight*10+ilow+1=130*10+4+1=1305
• 百位出现 1 的次数，ihight=13, icur=0, ilow=14
  • icur = 0，影响只来源于高位部分，13 个 100，每个100在百位上将会出现100个1，也就是 13*100=1300
  • icur = 1，假设 N=13114，影响来源于高位和低位：
    • 高位部分，ihight=13, 13 个 100，则 1 的个数为 13 * 100 = 1300
    • 低位部分，ilow=14，13100~13114，1 的个数为 ilow+1 = 14+1 = 15
  • icur > 1，假设 N=13214，影响仅来源于高位：
    • ihight = 13，13 个 100，当前尾部 13100~13199 有一个100，总攻是 14 个，及 ihight+1 个 100，1 的个数为 (13+1)*100 = 1400

由此规律很容易实现代码。

思考总线，从简单的例子入手找规律，抽象出一般化的规律，要注意细节

code

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

class Solution{
public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n){
        int icout = 0;
        int ihight = 0;
        int ilow = 0;
        int icur = 0;
        int ifactor = 1;

        while( n / ifactor != 0){
            ihight = n / (ifactor*10);
            icur = (n / ifactor) % 10;
            ilow = n - (n / ifactor) * ifactor;

            switch(icur){
                case 0 :
                    icout += ihight*ifactor;
                    break;
                case 1 :
                    icout += ihight*ifactor + ilow + 1;
                    break;
                default:
                    // icur > 1
                    icout += (ihight+1)*ifactor;

            }

            ifactor *= 10; // scan from the low-order to high-order
        }

        return icout;
    }
};

int main()
{
    return 0;
}