动态规划：数字和为sum的方法数

题目描述

给定一个有n个正整数的数组A和一个整数sum,求选择数组A中部分数字和为sum的方案数。
当两种选取方案有一个数字的下标不一样,我们就认为是不同的组成方案。

输入描述:

输入为两行:
 第一行为两个正整数n(1 ≤ n ≤ 1000)，sum(1 ≤ sum ≤ 1000)
 第二行为n个正整数A[i](32位整数)，以空格隔开。

输出描述:

输入

5 15 
5 5 10 2 3

输出

4

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main()
{
	int n, sum;
	cin >> n >> sum;
	vector<long>vec(sum + 1, 0), input(n + 1, 0);
	vec[0] = 1;////这一步的目的是如果当前数字中的元素刚好等于要求的，就是多一种方法
			   //如果不赋值为1，还是为0就没办法加一种方法
	vector<vector<long> >result(n + 1, vec);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> input[i];
	}
	//程序多加一行的目的是，例如：result[1][5]=result[0][5]+result[0][5-input[1]](即result[0][0])
	//多加一行方便整体运算不需分类计算
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= sum; j++)
		{
			if (j - input[i] >= 0)
			{
				//如果列所在数字减去该行数大于等于0，该格子内容为该列上一行数字与上一行差
				// 值所在格子数量和。什么意思呢？例如(10,3)，若想要用3之前的数列得到10，除了
				// 它上一行(即2)本身就能得到2个10外，只要之前的数字是7,7+3依然可以得到10。因
				// 此去看上一行中列数为7的格子数值，为2，即它上一个数有2中组合得到7,7+3=10。
				// 那该行数值即为2+2=4。
				result[i][j] = result[i - 1][j] + result[i - 1][j - input[i]];
			}
			else
			{//果列所在数字减去该行数小于0，那么该格子继承本列上一行的数字。
				result[i][j] = result[i - 1][j];
			}
		}
	}
	cout << result[n][sum] << endl;
	return 0;
}

　　

如果是使用上面的用例图解图上图所示，

 然后说一下做法：

1.由于每个数总能把0填上，且0不可填上初0外其余数，所以数组第一行全填0，第一列全填1；

 2.从第二行第二列开始遍历数组。如果列所在数字减去该行数小于0，那么该格子继承本列上一行的数字。例如图中(2,10)对应格子。由于让10得到2，那必须由-8+5得到，但是该题无法得到比0小的数，因此由10之前的数得到2的最多可能与他之前的数（即5）是一样的；

3.如果列所在数字减去该行数大于等于0，该格子内容为该列上一行数字与上一行差值所在格子数量和。什么意思呢？例如(10,3)，若想要用3之前的数列得到10，除了它上一行(即2)本身就能得到2个10外，只要之前的数字是7,7+3依然可以得到10。因 此去看上一行中列数为7的格子数值，为2，即它上一个数有2中组合得到7,7+3=10。

 那该行数值即为2+2=4。