CF697E && CF696C PLEASE

题意：给你三个杯子，一开始钥匙放在中间的杯子里，然后每一回合等概率将左右两个杯子中的一个与中间杯子交换。求n回合之后钥匙在中间杯子的概率。这里要求概率以分数形式输出，先化成最简，然后对1e9 + 7取模。

题解：首先我们可以轻易得到一个递推式：$ d[i] = \frac{{1 - d[i - 1]}}{2} $

但递推式是不行的，我们要得到一个封闭形式。

运用数列技巧，我们可以进行如下变换：$d[i] - \frac{1}{3} =  - \frac{1}{2}(d[i - 1] - \frac{1}{3})$

那么我们有 $d[n] = \frac{{{{( - 1)}^n} + {2^{n - 1}}}}{{3 \times {2^{n - 1}}}}$

其中我们发现，${{{( - 1)}^n} + {2^{n - 1}}}$ 一定是3的倍数，且商一定是奇数，所以与剩下部分互质

也即  $p = \frac{{{{( - 1)}^n} + {2^{n - 1}}}}{3}$  $q = {2^{n - 1}}$

带进去算就好了。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define LL long long
 #define mod 1000000007

 inline LL read() {
     LL x = , f = ; char a = getchar();
     while(a < '' || a > '') { if(a == '-') f = -; a = getchar(); }
     while(a >= '' && a <= '') x = x *  + a - '', a = getchar();
     return x * f;
 }

 int n, p = , q, f = ;

 inline int fpow(int x, LL k) {
     int ret = ;
     while(k) {
         if(k & ) ret = 1LL * ret * x % mod;
         k /= ; x = 1LL * x * x % mod;
     }
     return ret;
 } 

 int main() {
     n = read();
     LL tmp; int inv2 = fpow(, mod -), inv3 = fpow(, mod - );
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         tmp = read();
         f = 1LL * f * tmp % ;
         p = fpow(p, tmp);
     }
     q = 1LL * p * inv2  % mod;
     p = 1LL * (q + (f ? - : )) * inv3 % mod;
     printf("%d/%d\n" ,p ,q);
     return ;
 }