#1143 : 骨牌覆盖问题·一

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描述

骨牌,一种古老的玩具。今天我们要研究的是骨牌的覆盖问题:
我们有一个2xN的长条形棋盘,然后用1x2的骨牌去覆盖整个棋盘。对于这个棋盘,一共有多少种不同的覆盖方法呢?
举个例子,对于长度为1到3的棋盘,我们有下面几种覆盖方式:

提示:骨牌覆盖

提示:如何快速计算结果

输入

第1行:1个整数N。表示棋盘长度。1≤N≤100,000,000

输出

第1行:1个整数,表示覆盖方案数 MOD 19999997

样例输入
62247088
样例输出
17748018

解题思路:
仔细观察可以看出是Fibonacci函数 f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
但当n特别大的时候,运算次数太多,必然超时。
所以引入:
斐波那契数列,快速矩阵幂解法。

当N很小的时候,我们直接通过递推公式便可以计算。当N很大的时候,只要我们的电脑足够好,我们仍然可以直接通过递推公式来计算。
但是我们学算法的,总是这样直接枚举不是显得很Low么,所以我们要用一个好的算法来加速(装X)。
事实上,对于这种线性递推式,我们可以用矩阵乘法来求第n项。对于本题Fibonacci数列,我们希望找到一个2x2的矩阵M,使得(a, b) x M = (b, a+b),其中(a, b)和(b, a+b)都是1x2的矩阵。
显然,只需要取M = [0, 1; 1, 1]就可以了:

进一步得到:

那么接下来的问题是,能不能快速的计算出M^n?我们先来分析一下幂运算。由于乘法是满足结合律的,所以我们有:

不妨将k[1]..k[j]划分的更好一点?

其中(k[1],k[2]...k[j])2表示将n表示成二进制数后每一位的数字。上面这个公式同时满足这样一个性质:

结合这两者我们可以得到一个算法:
1. 先计算出所有的{a^1, a^2, a^4 ... a^(2^j)},因为该数列满足递推公式,时间复杂度为O(logN)
2. 将指数n二进制化,再利用公式将对应的a^j相乘计算出a^n,时间复杂度仍然为O(logN)
则总的时间复杂度为O(logN)
这种算法因为能够在很短时间内求出幂,我们称之为“快速幂”算法。 AC代码:
 #include"iostream"
#define MOD 19999997
using namespace std; typedef long long LL; struct Matrix
{
LL matrix[][];
}ans,base; Matrix mult(Matrix a,Matrix b)
{
Matrix c;
for (int i = ; i < ; i++)
{
for (int j = ; j < ; j++)
{
c.matrix[i][j] = ;
for (int k = ; k < ; k++)
{
c.matrix[i][j] += (a.matrix[i][k] * b.matrix[k][j]) % MOD;
}
c.matrix[i][j] %= MOD;
}
} return c;
} LL solve(LL n)
{
base.matrix[][] = base.matrix[][] = base.matrix[][] = ;
base.matrix[][] = ; //初始化单位矩阵
ans.matrix[][] = ans.matrix[][] = ;
ans.matrix[][] = ans.matrix[][] = ; while (n)
{
if (n & )
{
ans = mult(ans, base);
//break;
}
base = mult(base, base);
n >>= ; //n右移一位,n=n>>1 n/2 }
return ans.matrix[][] % MOD; } int main()
{
LL n;
scanf("%lld", &n); printf("%lld", solve(n+) % MOD);
system("pause");
}

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