卡特兰（Catalan）数列

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名 Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 （1814–1894）的名字来命名，其前几项为 :

• 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786,
• 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790,
• 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640,
• 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

h(0)=1,h(1)=1，递归关系式如下：

h(n)=∑k=0n−1h(k)⋅h(n−1−k)

和一维离散时间傅里叶变换 o[n]=f[n]⋆g[n]=∑u→∞∞f[n−u]⋅g[u]=∑u→∞∞f[u]⋅g[n−u]一样，都是下标之间存在一定的关系。

最终可得：

h(n)=(2nn)n+1=2n!n!(n+1)!

此外还需注意的一点是，如果卡特兰数列不是从 0 而是从 1 开始计数的话，形式要发生一些变化：

h[n]=∑t=1n−1h[t]⋅h[n−t]

1. 卡特兰数列的应用

• 矩阵连乘的时间复杂度（不同的 t 表示不同的切分方法，也即乘积顺序）：

  T[N]=∑t=1N−1T[t]⋅T[N−t]