[物理学与PDEs]第2章习题3 Laplace 方程的 Neumann 问题

设 $\Omega$ 为单连通区域, 在其边界 $\vGa$ 上给定向量场 ${\bf u}_B$, 则在 $\bar\Omega$ 中存在速度场 ${\bf u}$, 使其在 $\Omega$ 中成立 $\Div{\bf u}=0$, 且该速度场有势, 即存在数量场 $\phi$ 使 ${\bf u}=-\n\phi$; 并在 $\vGa$ 上的法向分量 ${\bf u}\cdot{\bf n}={\bf u}_B\cdot{\bf n}$, 其充分必要条件为 $$\bex \int_\vGa {\bf u}_B\cdot{\bf n}\rd S=0, \eex$$ 其中 ${\bf n}$ 为单位外法线向量.

证明: Laplace 方程的 Neumann 问题 $$\bex \ba{rl} \lap\phi=0,&\quad\mbox{in }\Omega\\ \cfrac{\p\phi}{\p n}=-{\bf u}_B\cdot{\bf n},&\quad\mbox{on }\vGa \ea \eex$$ 有解的充分必要条件为 $$\bex 0=\int_\vGa \cfrac{\p\phi}{\p n}\rd S =-\int_\vGa {\bf u}_B\cdot{\bf n}\rd S. \eex$$