分治FFT的三种含义

分治FFT是几个算法的统称。它们之间并无关联。

分治多项式乘法

问题如求\(\prod_{i=1}^na_ix+b\)。

若挨个乘复杂度为\(O(n^2\log n)\)，可分治做这件事，复杂度为\(O(n\log^2 n)\)。采用这种算法的条件是最终乘出来的式子长度是\(O(n)\)的。

也可以用多项式ln和exp做到\(O(n\log n)\)。

用CDQ分治快速求一类多项式的算法

第一类

已知\(f(x)=\sum_{i=1}^xf(i)g(x-i)\)，给定\(f(0)\)、\(g(1\cdots n)\)，求\(f(n)\)。

CDQ分治，每次用\(f[l,mid]\)卷\(g[l,r]\)即可算出\(f[l,mid]\)对\(f[mid+1,r]\)的贡献。

复杂度\(O(n\log^2n)\)。

某些简单模型也可以用多项式求逆做到\(O(n\log n)\)。

第二类

已知\(f(x)=\sum_{i=1}^xf(i)f(x-i)\)，给定\(f(0)\)，求\(f(n)\)。

CDQ分治，每次计算完左区间后看\(l\)是否为\(0\)，如果不是则先计算\(f[0,r-l]\)卷\(f[l,mid]\)，它对\(f[mid+1,r]\)有\(2\)倍的贡献。然后再用\(f[l,mid]\)卷自己对\(f[mid+1,r]\)作贡献。

口诀：左起全长cont两倍

复杂度\(O(n\log^2 n)\)。

某些简单模型也可以用多项式开方做到\(O(n\log n)\)。