51nod 1318 最大公约数与最小公倍数方程组（2-SAT）

题意

给你 \(n\) 个元素，\(m\) 个方程。

每个方程形如

\[\begin{align}
\gcd(x_i, y_i)=c_i\\
\mathrm{lcm}(x_i,y_i) = d_i
\end{align}
\]

之类的形式。

询问这个方程组是否有解。有 \(T\) 组数据。

\(1 \le T \le 10, 1 \le n, m \le 200\) 。

题解

这道题是一个很巧妙的 \(2-SAT\) 。不会的话，可以参考 2-SAT 问题与解法小结 。

我们可以这样设计变量，令变量 \(a[i][j][k]\) 表示是否有 \(\displaystyle p^j | x_i\) ，上面限制就能表示出来啦。

一开始觉得每个质因子可以单独考虑，后来发现要一起考虑，因为别的 \(gcd, lcm\) 会限制这个的次数。

具体来说是这样的。

1. \(\gcd(x_i, y_i) = c_i\)

   那么我们首先考虑 \(x_i, y_i\) 中与 \(c_i\) 互质的质因子 \(p\) 。

   对于这些质因子 \(p​\) ， \(x, y​\) 不能同时出现我们连一条 \(a[x][p][1] \to \neg a[y][p][1]​\) 的边（注意要连逆否命题的边）。

   那么我们接下来可以考虑，假设 \(c_i\) 存在质因子 \(p\) 的最高次数为 \(k\) 。

   那么 \(x_i, y_i\) 两个数对于 \(p\) 的最低次数为 \(k\) ，且必有一个数次数刚好为 \(k\) ，那么连三条边就行了。

   首先强制使得 \(a[x][p][k], a[y][p][k]\) 为真。（也就是连一条从真到假的边就行了）

   然后如果 \(a[x][p][k + 1]\) 为真，那么要使得 \(a[y][p][k + 1]\) 为假。（逆否也要）

   这是因为不能存在两个次数都 \(\ge k+1\) 。

2. \(\mathrm{lcm} (x_i, y_i) = d_i\)

   同样先考虑 \(x_i, y_i\) 中与 \(d_i\) 互质的质因子 \(p\) 。

   对于这些质因子 \(p\) ， \(x, y\) 不能包含，所以强制使得 \(a[x][p][1], a[y][p][1]\) 为假。

   那么我们接下来可以考虑，假设 \(d_i\) 存在质因子 \(p\) 的最高次数为 \(k\) 。

   同上， \(x_i, y_i\) 两个数对于 \(p\) 的最高次数为 \(k\) ，且必有一个数次数刚好为 \(k\) ，那么连三条边就行了。

   强制使得 \(a[x][p][k+1], a[y][p][k+1]\) 为假。

   然后如果 \(a[x][p][k]\) 为假，那么要使得 \(a[y][p][k]\) 为真。（逆否也要）

连完这些，还要记得 \(a[x][p][k]\) 为真时，\(a[x][p][k - 1]\) 也要为真。

然后就可以轻松愉悦的码码码了。

然后对于 \(a[x][p][k]\) 标号的时候，可以用 std :: map<int, map<int, map<int, int> > > id 来实现qwq

STL 大法好！！！

复杂度是 \(O(Tm \log 10^9)\) 的。

总结

对于 \(\gcd, \mathrm{lcm}\) 的题，可以对于指数进行考虑，就变成了高维的取 \(\min\) 和取 \(\max\) 问题。

代码

建议 抄 学习一下我的代码

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define fir first
#define sec second

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
	int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
	return x * fh;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("1318.in", "r", stdin);
	freopen ("1318.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 2e4 + 1e3;
struct Two_Sat {

	int n; vector<int> G[N];
	void Init(int n) {
		this -> n = n;
		For (i, 2, n << 1 | 1) G[i].clear();
	}

	void Add(int x, int xv, int y, int yv) {
		x = x << 1 | xv; y = y << 1 | yv;
		G[x].push_back(y); G[y ^ 1].push_back(x ^ 1);
	}

	int sccno[N], scc_cnt, dfn[N], lowlink[N], sta[N], top, clk;
	void Tarjan(int u, int fa = 0) {
		dfn[u] = lowlink[u] = ++ clk; sta[++ top] = u;
		for (int v : G[u])
			if (!dfn[v]) Tarjan(v, u), chkmin(lowlink[u], lowlink[v]);
			else if (!sccno[v]) chkmin(lowlink[u], dfn[v]);
		if (dfn[u] == lowlink[u]) {
			++ scc_cnt; int now;
			do sccno[now = sta[top --]] = scc_cnt; while (u != now);
		}
	}

	bool Solve(int n) {
		this -> n = n;
		For (i, 2, n << 1 | 1) dfn[i] = sccno[i] = 0; scc_cnt = clk = 0;
		For (i, 2, n << 1 | 1) if (!dfn[i]) Tarjan(i);
		For (i, 1, n) if (sccno[i << 1] == sccno[i << 1 | 1]) return false;
		return true;
	}

} T;

int n, m;

struct Equation {
	int x, y, val, opt;
} lt[N];

set<int> fac[N];
void Get_Factor(int x, int val) {
	For (i, 2, sqrt(val + .5)) if (!(val % i)) {
		while (!(val % i)) val /= i; fac[x].insert(i);
	}
	if (val > 1) fac[x].insert(val);
}

int Size; map<int, map<int, map<int, int> > > id;
int Get_Id(int x, int p, int k) {
	if (!id[p][x][k]) id[p][x][k] = ++ Size; return id[p][x][k];
}

void Build_Again() {
	for (auto i : id) for (auto j : i.sec) {
		int Last = 0; for (auto k : j.sec) {
			if (Last) T.Add(k.sec, 1, Last, 1); Last = k.sec;
		}
	}
	id.clear();
}

void Modify(int x, int val) {
	T.Add(x, val ^ 1, x, val);
}

void Resolve(int x, int y, int opt, int val) {

	set<int> fx = fac[x]; set<int> fy = fac[y];
	int tmp = val;
	For (i, 2, sqrt(val + .5)) if (!(val % i)) {
		while (!(val % i)) val /= i; fx.erase(i); fy.erase(i);
	}
	if (val > 1) fx.erase(val), fy.erase(val); val = tmp;

	if (opt == 1) {
		for (auto prime : fx) Modify(Get_Id(x, prime, 1), 0);
		for (auto prime : fy) Modify(Get_Id(y, prime, 1), 0);
	} else {
		vector<int> V;
		set_union(fx.begin(), fx.end(), fy.begin(), fy.end(), inserter(V, V.begin()));
		for (int prime : V) {
			T.Add(Get_Id(x, prime, 1), 1, Get_Id(y, prime, 1), 0);
			T.Add(Get_Id(y, prime, 1), 1, Get_Id(x, prime, 1), 0);
		}
	}

	register int i = 2;
	while (val > 1) {
		if (!(val % i)) {
			int cnt = 1; while (!(val % i)) val /= i, ++ cnt;
			if (!opt) {
				Modify(Get_Id(x, i, cnt), 1);
				Modify(Get_Id(y, i, cnt), 1);
				T.Add(Get_Id(x, i, cnt + 1), 1, Get_Id(y, i, cnt + 1), 0);
			} else {
				Modify(Get_Id(x, i, cnt + 1), 0);
				Modify(Get_Id(y, i, cnt + 1), 0);
				T.Add(Get_Id(x, i, cnt), 0, Get_Id(y, i, cnt), 1);
			}
		}
		++ i; if (i * i > val) i = val;
	}
}

int main () {

	File();

	for (int cases = read(); cases; -- cases) {

		Size = 0;

		n = read(); m = read();
		For (i, 1, n) fac[i].clear();
		For (i, 1, m) {
			static char str[5];
			scanf ("%s", str + 1);
			int opt = str[1] == 'L', x = read(), y = read(), val = read();
			lt[i] = (Equation) {x, y, val, opt};
			Get_Factor(x, val); Get_Factor(y, val);
		}

		For (i, 1, m) Resolve(lt[i].x, lt[i].y, lt[i].opt, lt[i].val); Build_Again();

		puts(T.Solve(Size) ? "Solution exists" : "Solution does not exist"); T.Init(Size);

	}

	return 0;
}