51Nod 1810 连续区间
https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1810
题目给出一个1~n的排列,问有多少连续区间。连续区间的定义为区间内元素排序后之间间隔为1。
对于一个区间[l,r],令mid=(l+r)/2,我们如果能在O(n)内求解出左端点在[l,mid],右端点在[mid+1,r]的连续区间数量,就可以将问题一分为二,递归求解[l,mid] [mid+1,r]。
现在来求解上面所说的这个子问题,首先默认i<j,有一个结论max[i~j]-min[i~j]==j-i时[i,j]是一个连续区间。所以我们维护两组从mid(mid+1)出发,向左(右)延伸的后(前)缀max和min数组。max[i~j]=max(max[i],max[j]),min同理。我们只要找到所有i,j组合使得结论式成立即可。
但是很明显朴素枚举是n^2的,我们能不能优化到n呢?
观察max[i~j],min[i~j],他们的来源有4种组合,因为是两两对应的,我们其中两个组合来讨论,另外两个可以同理推导。
第一种是max和min都来自mid左边。有max[i]-min[i]=j-i,推导得 j=max[i]-min[i]+i,只要枚举左半边的i,并判断j是否合法即可。
第二种是max来自左边min来自右边。有max[i]-min[j]=j-i,推导得max[i]+i=min[j]+j,枚举每个max[i]+i,计算有多少合法的j符合即可。说得轻松,这个j的数量怎么计算呢?
我们发现max想要来自左边,需要满足max[i]>max[j],同理min[i]>min[j]。同时我们发现从中心向外发散,max递增,min递减,也就是从中心向左枚举i的过程中max限制越来越宽松,min越来越严格。我们lp,rp来维护右半区间中满足当前i的[mid+1,r]的j的子窗口,可以预见的是随着i--,这个窗口会向右尺取。我们每加入一个j,就让一个计数数组中的cnt[min[j]+j]++,每剔除一个j则相应减减。对于每个i,完成尺取后,ans+=cnt[max[i]+i]。
对应搞定剩下两个情况后这题就理论AC了,剩下还有一些细节,比如l==r的处理,cnt数组的复原处理,输入挂优化什么的,搞搞就AC了。
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const LL N = ;
int num[N],n;
LL ans;
int mx[N], mi[N];
int read() {
char ch;
for (ch = getchar(); ch<'' || ch>''; ch = getchar());
int x = ch - '';
for (ch = getchar(); ch >= ''&&ch <= ''; ch = getchar()) x = x * + ch - '';
return x;
}
void make_pre(LL l, LL r, LL mid)
{
mi[mid] = mx[mid] = num[mid];
mi[mid + ] = mx[mid + ] = num[mid + ];
for (int i = mid - ; i >= l; i--)
{
mx[i] = max(num[i], mx[i + ]);
mi[i] = min(num[i], mi[i + ]);
}
for (int i = mid + ; i <= r; i++)
{
mx[i] = max(num[i], mx[i - ]);
mi[i] = min(num[i], mi[i - ]);
}
}
struct tong
{
LL cnt[N * ];
void clear()
{
memset(cnt, , sizeof(cnt));
}
void setZero(LL num)
{
cnt[num + N] = ;
}
void add(LL num,int v)
{
cnt[num + N]+=v;
}
LL query(LL num)
{
return cnt[num+N];
}
}cnt; void solve(LL l, LL r)
{ int temp = ans;
LL mid = (l + r) /;
make_pre(l, r, mid);
//same i
for (int i = l; i <= mid; i++)
{
int nj = mx[i] - mi[i]+i;
if (nj>mid&&nj<=r&&mx[i]>mx[nj] && mi[i]<mi[nj]) ans++;
}
//same j
for (int i = mid+; i <= r; i++)
{
int nj = mx[i] - mi[i]-i;
nj = -nj;
if (nj<=mid&&nj>=l&&mx[i]>mx[nj] && mi[i]<mi[nj]) ans++;
}
//dif mx[i],mi[j]
LL pl = mid+,pr=mid+;
for (int i = mid; i>=l; i--)
{
while (pr <= r&&mx[pr] < mx[i])cnt.add(mi[pr] + pr,),pr++;
while (pl < pr&&mi[pl] > mi[i])cnt.add(mi[pl] + pl, -), pl++;
//if (cnt.query(mx[i] + i) < 0) cout << l << ' ' << r << ' ' << pl << endl;
ans += cnt.query(mx[i] + i);
}
while (pl < pr)cnt.setZero(mi[pl]+pl),pl++;
//dif mi[i],mx[j]
pl = mid , pr = mid;
for (int i=mid+; i<=r; i++)
{
while (pr >=l&&mx[pr] < mx[i])cnt.add(mi[pr] - pr, ), pr--;
while (pl > pr&&mi[pl] > mi[i])cnt.add(mi[pl] - pl, -), pl--;
//if(cnt.query(mx[i] - i)<0)cout << l << ' ' << r << ' ' << pl << endl;
ans += cnt.query(mx[i] - i);
}
while (pl > pr)cnt.setZero(mi[pl] - pl), pl--;
//cout << ans - temp << ' ' << l << ' ' << r << endl;
if (l == r)return;
solve(l, mid);
solve(mid + , r);
}
int main()
{
//cin.sync_with_stdio(false);
n = read();
for (int i = ; i < n; i++)num[i]=read();
ans = ;
cnt.clear();
solve(, n - );
printf("%lld\n", ans+n); return ;
}
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