P4980 【模板】Polya定理

思路

polya定理的模板题，但是还要加一些优化

题目的答案就是

\[\frac{\sum_{i=1}^n n^{gcd(i,n)}}{n}
\]

考虑上方的式子怎么求

因为\(gcd(i,n)\)肯定有很多重复，枚举\(gcd(i,n)\)，因为\(gcd(i,n)\)是\(n\)的约数，所以枚举约数

\[\begin{align}&\sum_{d|n}^nn^d\sum_{k=1}^n[gcd(n,k)=d]\\=&\sum_{d|n}^nn^d\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[gcd(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor,k)=1]\\=&\sum_{d|n}^nn^d\phi(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \end{align}
\]

然后做完了

一个求phi的方式

\(\phi(i)=i\prod_{p是k的质因数}(1-\frac{1}{p})\)

如果有\(p|n\)且\(p^2|n\)，则\(\phi(n)=\phi(n/p)\times p\)

如果有\(p|n\)且\(p^2\not|n\)，则\(\phi(n)=\phi(n/p)\times (p-1)\)

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define int long long
using namespace std;
int n,p,t,ans=0;
int pow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%p;
        a=(a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int get_phi(int x){
    int ans=x;
    int top=sqrt(x+0.5);
    for(int i=2;i<=top;i++){
        if(x%i==0){
            ans=ans/i*(i-1);
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    }
    if(x!=1)
        ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}
signed main(){
    scanf("%d",&t);
    p=1000000007;
    while(t--){
        scanf("%lld",&n);
        ans=0;
        int top=sqrt(n+0.5);
        for(int i=1;i<=top&&i*i!=n;i++){
            if(n%i==0){
                ans=(ans+pow(n,i)*get_phi(n/i)%p+pow(n,n/i)*get_phi(i)%p)%p;
            }
        }
        if(top*top==n)
            ans=(ans+pow(n,top)*get_phi(top)%p)%p;
        printf("%lld\n",ans*pow(n,p-2)%p);
    }
}