[MIT6.006] 14. Depth-First Search (DFS), Topological Sort 深度优先搜索，拓扑排序

一、深度优先搜索

它的定义是：递归探索图，必要时要回溯，同时避免重复。

关于深度优先搜索的伪代码如下：

左边DFS-Visit(V, Adj.s)是只实现visit所有连接某个特定点（例如s）的其他点。右边是实现整张图的visit，即DFS(v, Adj)。DFS-Visit是DFS的重要组成模块。

用上图右侧的实例图解释下运作过程：

• 先从a出发，DFS-Visit到b上。
• 递归到b上，从b出发，DFS-Visit到e上。
• 递归到e上，从e出发，DFS-Visit到d上。
• 递归到d上，从d出发，本来是要DFS-Visit到b上的，因为DFS要避免重复，所以这里就断了。
• 由于b已经被visit过了，现在从c出发，DFS-Visit到f上。
• f不能visit自己，且e被visit过了，这里就断了。
• 之后c,d,e,f都被visit过了，所有就完成了。

DFS的时间复杂度如下（这里不做多余的解释）：

二、边分类

Edge Classification可以解决两个问题：cycle detection和topological sort。

它有四种边：

• tree edge：即带有parent pointer的边，通过该边可以visit到新的点。
• forward edge：点到树中的子辈。
• backward edge：点到树中的父辈。
• cross edge：在两个无父辈关系的子树之间。

（如果是无向图，只存在tree edge和backward edge）

三、循环检测

如果图G有个循环，那么DFS就存在反向边back edge。反过来也成立，即如果DFS就存在反向边back edge，图G就有个循环。

四、拓扑排序

在Job scheduling问题上，给定有向非循环图（DAG），排序点使得所有变从低位指向高位。这里使用拓扑排序Topological sort可以实现：使用DFS，然后反着输出点的完成时间。这这里面有个常理就是对于任何从u到v的边即e =（u，v），都满足v完成早于u完成。