D. Concatenated Multiples 解析(思維)

Codeforce 1029 D. Concatenated Multiples 解析(思維)

今天我們來看看CF1029D

題目連結

題目

給你一個序列\(a\)和一個數字\(k\)，求有幾種indices pair可以讓兩個數字串接在一起之後可以被\(k\)整除。

前言

set,map這些東西的常數真的有夠高阿

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想法

\(a_i\)和\(a_j\)串接起來是\(a_i\times 10^{digit(a_j)}+a_j\)，我們固定一個\(a_i\)和\(digit(???)\)，要看看哪些\(a_j\)符合長度是\(digit(???)\)和串接起來可被整除。

實作細節:我們可以先把相同長度的\(a_j\)放到一個\(vector\)裡，並且接著\(a_j\%=k\)。

如此一來決定了\(a_i\times 10^{digit(???)}\mod k\)是多少以後，只需要找到在同樣長度的\(a_j\)中，哪些剛好\(=(k-(a_i\times 10^{digit(???)}\mod k))\mod k\)，而又因為我們已經把\(a_j\%=k\)過了，所以可以在\(sort\)過同樣長度的\(a_j\)後，直接\(upperbound-lowerbound\)找同樣值的元素有多少個。

還有，\(digit(a_j)\)的其中一種求法是\(digit(a_j)=1+log10(a_j)\)

其實我一開始是用\(map\)實作的，想法是固定\(a_j\)然後看看\(map\)裡又多少個\(a_i\times 10^{digit(???)}\)剛好可以符合要求，然後從前往後+從後往前各看一次。然而這題的\(k\le1e9\)，因此\(map\)非常可能需要\(insert\)非常多空白元素，造成TLE，其中一部分造成TLE的原因是因為\(insert\)時要\(allocate\)新記憶體位置，這樣造成非常大的常數。

程式碼(正常作法):

const int _n=2e5+10;
int t,n,k,a[_n],dig[_n],ten[11];
VI d2a[_n];
ll ans;
main(void) {ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
  cin>>n>>k;rep(i,0,n)cin>>a[i];ten[0]=1;rep(i,1,11)ten[i]=1ll*ten[i-1]*10%k;
  rep(i,0,n)dig[i]=1+log10(a[i]),a[i]%=k,d2a[dig[i]].pb(a[i]);
  rep(i,1,11)sort(all(d2a[i]));
  rep(i,0,n)rep(j,1,11){
    t=k-1ll*a[i]*ten[j]%k;if(t==k)t=0;
    ans+=upper_bound(all(d2a[j]),t)-lower_bound(all(d2a[j]),t);
    if(dig[i]==j and a[i]==t)ans--;
  }cout<<ans<<'\n';
  return 0;
}

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程式碼(改成unordered_map以後1800ms的AC):

const int _n=2e5+10;
int t,n,k,a[_n];
ll ans;
ll ten[11]={1,10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000,1000000000,10000000000ll};
struct pair_hash
{
	template <class T1, class T2>
	std::size_t operator() (const std::pair<T1, T2> &pair) const
	{
		return std::hash<T1>()(pair.first) ^ std::hash<T2>()(pair.second);
	}
};
unordered_map<PII,int,pair_hash> mp;
main(void) {ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
  cin>>n>>k;rep(i,0,n)cin>>a[i];
  rep(i,0,n){
    ans+=mp[{(k-a[i]%k)%k,1+log10(a[i])}];
    rep(j,1,11)mp[{(1ull*a[i]*ten[j])%(1ull*k),j}]++;
  }mp.clear();
  per(i,0,n){
    ans+=mp[{(k-a[i]%k)%k,1+log10(a[i])}];
    rep(j,1,11)mp[{(1ull*a[i]*ten[j])%(1ull*k),j}]++;
  }cout<<ans<<'\n';
  return 0;
}

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