Luogu U13059 某种密码
应该没什么用的题目链接
题目背景
关于某种密码有如下描述:某种密码的原文A是由N个数字组成,而密文B是一个长度为N的01数串,原文和密文的关联在于一个钥匙码KEY。若KEY=∑▒〖Ai*Bi〗,则密文就是原文的一组合法密码。
题目描述
现在有原文和钥匙码,请编一个程序来帮助他统计到底有多少个符合条件的密文。
输入输出格式
输入格式:
第一行两个数N,KEY,意义同题目描述;
第二行N个数表示原文A,意义同题目描述。
输出格式:
一个数ANS,表示对于原文A和KEY,有多少组可行的密文B。
输入输出样例
3 2
1 1 2
2
说明
【样例说明】
密文110,1*1+1*1+0*2=2
密文001,0*1+0*1+1*2=2
一共两组可行的密文。
【数据范围】
60%数据满足N<=25
100%数据满足N<=40,-maxlongint<=∑▒Ai<=maxlongint
题解:
这道题可以理解为一个01背包问题的变种,n为物品个数,原文为物品的重量,钥匙码为背包容量,求恰好装满背包的方案数。
如果是一道普通01背包求恰好装满背包的方案数的题,可以用DP求解。具体思路是设f[i][j]为用前i个物品恰好装满容量为j的背包的方案数,转移方程为f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-w[i]]。显然可以滚动数组或一维数组优化,在此不再赘述。
然而,观察数据范围会发现,此处物品的重量极大,达到了int的范围,因此DP的时空复杂度均无法承受,然而n的范围较小,可以考虑搜索。
60分做法:
直接暴搜,O(2n)枚举放入背包的物品集合,将重量相加并与key比较。然而,对于剩余的40%数据,复杂度太大,仍然无法解决。
100分做法:
注意到这是一类经典问题,即从一个集合中选取某个子集,使其中所有元素值之和等于某个给定值。可以使用以空间换时间的折半枚举。类似思想也在BSGS中得到应用。
将物品集合均分成两个交集为空,补集为全集的集合A、B,对集合A暴力枚举其所有子集中元素和并存入哈希表(可重集),再对集合B暴力枚举每个子集的元素和s,同时查找哈希表中值为(key-s)的元素个数并计数。时间复杂度为O(2*2n/2)=O(2n/2),可以接受。
注意此处用到的哈希表如果使用STL代替的话,不能使用set,要用multiset或map,然而multiset速度极慢不推荐使用,map速度也稍慢,有被卡1~2个点的风险。不过我自己写的哈希表写挂了只能用map
代码:
1 #include<bits/stdc++.h>
2 #define h(x) (x%MOD)
3 #define LL long long
4 using namespace std;
5 const LL maxn=100,maxm=4e6+10,maxk=1e5+10,MOD=1e5+3;
6 map<int,int>isvis;
7 LL a[maxn];
8 LL n,key,mid,tot=0;LL ans=0;
9 int main()
10 {
11 LL i,j,k,l,r,tmp;
12 cin>>n>>key;
13 //l=n/2;r=n-l;
14 mid=(1+n)>>1;l=mid;r=n-l;
15 for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);}
16 for(k=0;k<(1<<l);k++)
17 {
18 tmp=0;
19 for(i=0;i<l;i++){if(k&(1<<i)){tmp+=a[i+1];}}
20 isvis[tmp]++;
21 }
22 for(k=0;k<(1<<r);k++)
23 {
24 tmp=0;
25 for(i=0;i<r;i++){if(k&(1<<i)){tmp+=a[l+i+1];}}
26 ans+=isvis[key-tmp];
27 }
28 cout<<ans;
29 return 0;
30 }
PS:
此外,还有一类01背包的变种。这类问题中物品个数与普通01背包类似,物品重量与背包容量极大,但物品单个价值较小,求装入背包的物品价值的最大值。
此类问题可以用DP求解,只是需要对状态进行些许修改。设f[i][j]为前i个物品价值总量为j时所需的背包容量的最小值,状态转移方程为f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i])。最后扫描f[n][i],找到最接近给定背包容量的i输出即可。
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