CF727F [Polycarp's problems] & [EX_Polycarp's problems]

原题题意

给出长度为n的有序数组，m次询问，每次给出一个正整数x。你要删除数组中最少的元素，使得数组中的前缀和+x都为非负整数。允许离线，n≤750，m≤200,000。

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原题思路

首先注意到，x能成功通过测试当且仅当前缀和中最小的数≥x。

将询问从大到小排个序，对于一个新的询问，每次尝试从数组中删除最优的一个数，使得成功的机会更大。

何为最优？我们注意到，a_i只会对后面的数造成影响。设当前前缀和最小为now，f_i为前i个前缀和中最小的数，则答案会增加 max { min { now-a_i , f_i-1 } } （请注意后面的f囊括了now-a_i顾及不到的情况）。

每次判断最小的数在哪，暴力更新，O(n³+mlogm)。

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代码

 #pragma GCC optimize(2)
 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long int ll;
 const ll inf=;
 const ll maxn=1E6+;
 template<typename T> void read(T &x){
     x=;char ch=getchar();int fh=;
     while (ch<''||ch>''){if (ch=='-')fh=-;ch=getchar();}
     while (ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
     x=x*fh;
 }
 void write(ll x)
 {
     if(x==){putchar('');putchar('\n');return;}
     if(x<){putchar('-');x=-x;}
     ll a[],size=;
     while(x){a[++size]=x%;x/=;}
     for(int i=size;i>=;--i)putchar(a[i]+'');
     putchar('\n');
 }
 ll min(ll x,ll y){return x<y?x:y;}
 ll max(ll x,ll y){return x>y?x:y;}
 ll n,m,a[maxn],tot,sum[maxn],ans[maxn],f[maxn];
 struct query{ll pos,x;}Q[maxn];
 bool cmp(query a,query b){return a.x>b.x;}
 ll get()
 {
     ll ans=inf;
     for(int i=;i<=n;++i)
     {
         sum[i]=sum[i-]+a[i];
         ans=min(ans,sum[i]);
         f[i]=min(f[i-],sum[i]);
     }
     return ans;
 }
 int main()
 {
     read(n);read(m);
     for(int i=;i<=n;++i)
     {
         read(a[i]);
         if(a[i]<)++tot;
     }
     for(int i=;i<=m;++i)
     {
         read(Q[i].x);
         Q[i].pos=i;
     }
     sort(Q+,Q+m+,cmp);
     int pos=;
     for(int i=;i<=tot;++i)
     {
         ll g=get();
         while(Q[pos].x+g>=&&pos<=m){ans[Q[pos].pos]=i-;++pos;}
         if(g>=)break;
         ll ans=-inf,pos=;
         for(int j=;j<=n;++j)
         {
             if(min(g-a[j],f[j-])>ans)
             {
                 ans=min(g-a[j],f[j-]);
                 pos=j;
             }
         }
         a[pos]=;
     }
     ll g=get();
     while(Q[pos].x+g>=&&pos<=m){ans[Q[pos].pos]=tot;++pos;}
     for(int i=;i<=m;++i)write(ans[i]);
     return ;
 }

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EX版本：

m,n≤1,000,000，强制在线。

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思路

考虑从后往前贪心。我们先只考虑两种情况（0显然没必要考虑）。

第一种，所有的数均为负数。则每次答案必然会从最小的数删起，直到删的数的绝对值第一次大于等于询问。

第二种，只有一个数为正，其余均为负。两种情况：

第一种，加起来为仍为正，那么就不会删数。并且这一位不会对以后造成任何影响（既然都加上正数了，能到达这一位，以后肯定不会小于零）。

　　第二种，加起来为负。那么会贪心地选择最小的负数删，直到加起来为正。换个角度，会贪心地选择最大的负数加到正数上，直到正数为负。这样，化归为第一情况。

再将负数加入大根堆，正数不要的原因同第一种。

图画画，手算算至少能够理解。

最后得到的答案要么剩下正数，要么全是负数。这些负数取反后，从大到小排序的第i位代表了取到第i种答案，要删去1~i个数。

二分查找即可。

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代码

 #pragma GCC optimize(2)
 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long int ll;
 const ll inf=;
 const ll maxn=1E6+;
 ll min(ll x,ll y){return x<y?x:y;}
 ll max(ll x,ll y){return x>y?x:y;}
 template<typename T> void read(T &x){
     x=;char ch=getchar();int fh=;
     while (ch<''||ch>''){if (ch=='-')fh=-;ch=getchar();}
     while (ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
     x=x*fh;
 }
 void write(ll x)
 {
     if(x==){putchar('');putchar('\n');return;}
     if(x<){putchar('-');x=-x;}
     ll a[],size=;
     while(x){a[++size]=x%;x/=;}
     for(int i=size;i>=;--i)putchar(a[i]+'');
     putchar('\n');
 }
 ll n,m,a[maxn],wait[maxn],size,x;
 priority_queue<ll>Q;
 int main()
 {
     read(n);read(m);
     for(int i=;i<=n;++i)read(a[i]);
     for(int i=n;i>=;--i)
     {
         while(a[i]>=&&!Q.empty())
         {
             a[i]+=Q.top();
             Q.pop();
         }
         if(a[i]<)Q.push(a[i]);
     }
     while(!Q.empty())
     {
         wait[++size]=Q.top();
         Q.pop();
     }
     for(int i=;i<=size/;++i)swap(wait[i],wait[size-i+]);
     for(int i=;i<=size;++i)wait[i]+=wait[i-];
     for(int i=;i<=size;++i)wait[i]=-wait[i];
     while(m--)
     {
         read(x);
         write(lower_bound(wait,wait+size+,wait[size]-x)-wait);
     }
     return ;
 }