基于Matlab的多自由度系统固有频率及振型计算

可参考文涛，基于Matlab语言的多自由度振动系统的固有频率及主振型计算分析，2007

对于无阻尼系统

[VEC,VAL]=eig(inv(A)*K)

对于有阻尼系统，参考振动论坛计算程序

输入M，D，K

function [v,w,zeta]=vbr_sf(m,d,k)

%vbr_sf  vbr_sf(m,d,k)

%        [v,w,zeta]=vbr4(m,d,k)

%        function vbr_sf finds the mode shapes and natural frequencies of

%        a linear second order matrix equation.  有阻尼二阶矩阵方程

%        [v,w]=vbr_sf(m,k) finds the mode shapes and natural frequencies

%        for the undamped case.

if nargin==2

k=d;

[v,w]=eig(m\k);

w=sqrt(w);

end

if nargin==3

if norm(d/m*k-k/m*d) < 1e-8*norm(k/m*d)

%disp('Damping is proportional, eigenvectors are real.')

[v,w]=eig(m\k);

w=sqrt(w);

zeta=(v'*m*v)\(v'*d*v)/2/w;

else

%disp('Damping is non-proportional, eigenvectors are complex.')

a=[0*k eye(length(k));-m\k -m\d];

[v,w1]=eig(a);

w=abs(w1);

zeta=-real(w1)/w;

end

end

w=diag(w);zeta=diag(zeta);

振动系统的特性包括固有特性，固有特性一般指的是没有激励对应数学齐次方程的特征，也就是特征解，包括特征值（物理上常称固有频率）和特征向量（物理上常称振型）。固有特性是振动系统的一种自身固有特征，也可以这么理解，当系统以某个固有频率振动时，振动的振型一定是对应的固有振型。

自由振动准确理解是在初始激扰（初始力或初位移）作用下，激扰撤销后系统的振动，对于线性无阻尼系统，由于系统存在正交性，若初始激扰是单频的，那么激励撤销后，系统仍然按激励的频率振动下去，振动响应是所有固有振型的叠加，仅仅当激励的频率等于某个固有频率时，振动的振响应就是对应的振型的若干倍；对于线性有阻尼系统，差别是振动的振响应会逐渐减小... ..

如果激励是多频率成分，问题要复杂一些.

响应是振型的叠加，频率不存在叠加... ..

系统的固有特性与惯性、弹性和耗散等有关，主要是惯性和弹性，惯性实际工程中通常不会有什么变化，而弹性相对比较容易发生变化，材料常数、剖面模数（断面出现裂纹、断裂. . .）、边界刚度等等发生变化都会显现系统变形刚度发生变化，导致系统固有频率随之发生变化。

（转自举聚）