偏离中轴的cos半球积分问题

问题：

如果N与n重合，则就是普通的cos半球积分，地球人都知道结果是pi。

对于N与n不重合的一般情况，稍微麻烦一些。

解法1（同济高数课本的方法，参考同济高数第六版第二册“曲面积分”一章）：

解法2（pbrt的方法）：

补充1：

需要注意的是，以上两个解法中的（Nx,Ny,Nz）为N在表面切空间中的坐标，如果我们希望结果与空间（坐标系）选取无关，则应该将结果写为：

补充2：

从计算结果可以看出积分值只与N在表面切空间中的z分量有关，即表明N绕n旋转积分结果不变（各向同性），这一点直接看图也能看出来。