SDOI2017遗忘的集合

题面链接

咕咕咕

题外话

为了这道题我敲了\(MTT\)、多项式求逆、多项式\(ln\)等模板，搞了将近一天。

sol

最近懒得写题解啊，随便搞搞吧。

看到这个就是生成函数套上去。

\[F(x)=\prod_{i=1}^{n}(\frac{1}{1-x^i})^{a_i}
\]

\[-\ln F(x)=\sum_{i=1}^na_i\ln(1-x^i)
\]

\[-\ln F(x)=-\sum_{i=1}^na_i\sum_{j=1}^{\infty}\frac{x^{ij}}{j}
\]

常见莫比乌斯套路，令\(T=ij\)，交换枚举顺序。

\[\ln F(x)=\sum_{T=1}^{\infty}x^T\sum_{i|T}a_i\times \frac iT
\]

令\(G(x)=lnF(x)\)，于是我们得到了一个奇怪的生成函数，\(G(x)\)的每一项就是\(\sum_{i|T}a_i\times\frac iT\)

可以莫比乌斯反演，也可以调和级数暴力减。

感谢Cyhlnj和巨sy

关于$$\ln(1-x^{i)=-\sum_{j=1}}{\infty}\frac{x^{ij}}{j}$$洛谷上有人说是泰勒展开？害我证了好久没证出来。

也许是我太弱了，但我不敢苟同，反正我没看出来泰勒展开怎么搞，如果有人证出来了欢迎留言。

蒯\(zsy\)的博真舒服。

\[\ln F(x)=G(x)\\\frac{F'(x)}{F(x)}=G'(x)\\\frac{-ix^{i-1}}{1-x^i}=G'(x)\\-\sum_{j=0}^{\infty} ix^{i-1+ij}=G'(x)\\-\sum_{j=0}^{\infty}\frac{ix^{i+ij}}{i+ij}=G(x)\\-\sum_{j=1}^{\infty}\frac{x^{ij}}{j}=G(x)
\]

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define gt getchar()
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
inline int in()
{
	int k=0;char ch=gt;
	while(ch<'-')ch=gt;
	while(ch>'-')k=k*10+ch-'0',ch=gt;
	return k;
}

const int N=6e5+5;
const double PI=acos(-1);
int a[N],b[N],c[N],YL;
inline int MO(const int &a){return a>=YL?a-YL:a;}
inline int ksm(int a,int k){int r=1;while(k){if(k&1)r=1ll*r*a%YL;a=1ll*a*a%YL,k>>=1;}return r;}

int rev[N],Inv[N];
struct E
{
	double x,y;
	E(){}
	E(double a,double b):x(a),y(b){}
	E operator=(const int &a){x=a,y=0;return *this;}
	E conj(){return E(x,-y);}
}omg[N];
E operator+(const E &a,const E &b){return E(a.x+b.x,a.y+b.y);}
E operator-(const E &a,const E &b){return E(a.x-b.x,a.y-b.y);}
E operator*(const E &a,const E &b){return E(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}

inline void fft(E *a,int len)
{
	for(int i=0;i<len;++i)if(i<rev[i])std::swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int st=2,m=1;st<=len;st<<=1,m<<=1)
		for(E *p=a,x,y;p!=a+len;p+=st)
			for(int k=0;k<m;++k)
				x=p[k],y=omg[len/m*k]*p[k+m],p[k]=x+y,p[k+m]=x-y;
}

inline void mul(int *A,int *B,int *C,int len)
{
	int len2=len;len<<=1;int qwq=0;while((1<<qwq)<len)++qwq;--qwq;
	for(int i=0;i<len;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<qwq);
    for(int i=0;i<len;++i)omg[i]=E(cos(PI*i/len),sin(PI*i/len));
	for(int i=0;i<len;++i)A[i]=MO(A[i]+YL),B[i]=MO(B[i]+YL);
	static E mul_a[N],mul_b[N],dfta[N],dftb[N],dftc[N],dftd[N];
	for(int i=0;i<len2;++i)mul_a[i]=E(A[i]&32767,A[i]>>15);
	for(int i=0;i<len2;++i)mul_b[i]=E(B[i]&32767,B[i]>>15);
	for(int i=len2;i<len;++i)mul_a[i]=mul_b[i]=E(0,0);
	fft(mul_a,len),fft(mul_b,len);
	for(int i=0;i<len;++i)
	{
		int j=(len-i)&(len-1);E da,db,dc,dd;
		da=(mul_a[i]+mul_a[j].conj())*E( 0.5,0);
		db=(mul_a[i]-mul_a[j].conj())*E(0,-0.5);
		dc=(mul_b[i]+mul_b[j].conj())*E( 0.5,0);
		dd=(mul_b[i]-mul_b[j].conj())*E(0,-0.5);
		dfta[j]=da*dc,dftb[j]=da*dd,dftc[j]=db*dc,dftd[j]=db*dd;
	}
	for(int i=0;i<len;++i)mul_a[i]=dfta[i]+dftb[i]*E(0,1);
	for(int i=0;i<len;++i)mul_b[i]=dftc[i]+dftd[i]*E(0,1);
	fft(mul_a,len),fft(mul_b,len);
	for(int i=0;i<len;++i)
	{
		int da=(ll)(mul_a[i].x/len+0.5)%YL;
		int db=(ll)(mul_a[i].y/len+0.5)%YL;
		int dc=(ll)(mul_b[i].x/len+0.5)%YL;
		int dd=(ll)(mul_b[i].y/len+0.5)%YL;
		C[i]=(da+((ll)(db+dc)<<15)+((ll)dd<<30))%YL;
	}
}

void get_inv(int *a,int *b,int len)
{
	if(len==1){b[0]=ksm(a[0],YL-2);return;}
	static int tmp[N];get_inv(a,b,len>>1);mul(a,b,tmp,len);
	for(int i=0;i<len;++i)tmp[i]=YL-tmp[i];tmp[0]+=2;mul(tmp,b,b,len);
}

void get_ln(int *a,int *b,int len)
{
	static int d[N],inv[N];
	for(int i=1;i<len;++i)d[i-1]=1ll*i*a[i]%YL;
	get_inv(a,inv,len);mul(d,inv,b,len);
	for(int i=len-1;i;--i)b[i]=1ll*b[i-1]*ksm(i,YL-2)%YL;b[0]=0;
}

int main()
{
	int n=in();YL=in();int len=1,ans=0;while(len<=n)len<<=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=in();a[0]=1;get_ln(a,a,len);
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=1ll*a[i]*i%YL;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=i<<1;j<=n;j+=i)
			a[j]=MO(a[j]-a[i]+YL);
	for(int i=1;i<=n;++i)if(a[i])++ans;printf("%d\n",ans);
	for(int i=1;i<=n;++i)if(a[i])printf("%d ",i);puts("");
	return 0;
}