【GDKOI2017】小队任务 莫比乌斯反演+杜教筛

题目大意：给你n，求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}[gcd(i,j)=1](i+1)(j+1)$

子任务一：暴力

子任务二：$T=50000,n≤10^7$

子任务三：$T=3，n≤10^{10}$

解法一：

我们化一下这个式子

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}[gcd(i,j)=1](i+1)(j+1)$

$=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}\sum_{k|gcd(i,j)} \mu(k)(i+1)(j+1)$

$=\frac{1}{2}\bigg(4+\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{Q}\sum_{j=1}^{Q}(di+1)(dj+1)\bigg)$其中$Q=\lfloor \frac{n}{d} \rfloor $，下面同理

$=\frac{1}{2}\bigg(4+\sum_{d=1}^{n}\mu(d)(Q^2+d(1+Q)Q^2+d^2(\frac{(1+Q)Q}{2})^2)\bigg)$

不难发现，这个式子可以预处理出$\mu(i)$的前缀和，然后通过根号分块的方法，实现单次$O(\sqrt{n})$时间复杂度的询问操作。在前两个子任务中，时间复杂度为$O(T\sqrt{n})$。

在第三个子任务中，我们采用杜教筛求$\mu$的前缀和，即可实现求得答案。

但是问题在于，该题单点的时限为15s，本蒟蒻经过大力卡常后，第二个子任务依然只能在17s左右跑出。

我们考虑换一个做法，还是刚才的式子

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}[gcd(i,j)=1](i+1)(j+1)$

考虑到要让$gcd(i,j)=1$,那么在i不变的情况下，共有$\varphi(i)$个数，它们的和为$\frac{1}{2}i\times \varphi(i)$。

那么原式为：

$=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(i+1)(i+2)\varphi(i)$

$=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\bigg(2(i+1)\varphi(i)+i(i+1)\varphi(i) \bigg)$

$=\frac{1}{2}\bigg( 2\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)+3\sum_{i=1}^{n}i\varphi(i)+\sum_{i=1}^{n}i^2\varphi(i) \bigg)$

该式子，我们可以预处理出$\varphi(i)$，$i\varphi(i)$，$i^2\varphi(i)$的前缀和，那么当n≤10^7时，可以实现O(1)求得答案

对于第三个子任务，$n≤10^{10}$，显然不可以预处理到$10^{10}$，求$\varphi(i)$，$i\varphi(i)$，$i^2\varphi(i)$的前缀和，我们可以通过杜教筛+预处理实现$O(n^{\frac{2}{3}})$的单次询问，可以通过第三个子任务。

杜教筛部分详见代码，在此不再展开。

完结撒花

 #include<bits/stdc++.h>
 #define L long long
 #define MOD 1000000007
 #define I2  500000004
 #define I6  166666668
 #define M 19890604
 using namespace std;
 int pri[M/]={},b[M]={},use=;
 int phi[M][]={};

 L get(L n,L op){
     n%=MOD;
     if(op==) return n;
     if(op==) return ((+n)*n/)%MOD;
     if(op==) return n*(n+)%MOD*(*n+)%MOD*I6%MOD;
     n=(n*(n+)/)%MOD; return n*n%MOD;
 }
 map<L,L> mp[];
 L PHI(L n,L k){
     if(n<M) return phi[n][k];
     if(mp[k][n]) return mp[k][n];
     L res=get(n,k+);
     for(L i=,j;i<=n;i=j+){
         j=n/(n/i);
         res=(res-(get(j,k)-get(i-,k))*PHI(n/i,k))%MOD;
     }
     return mp[k][n]=res;
 }

 L Main(){
     L n; scanf("%lld",&n);
     L p1=PHI(n,),p2=PHI(n,),p3=PHI(n,);
     L ans=(p1*+p2*+p3)%MOD*I2%MOD;
     printf("%lld\n",(ans++MOD)%MOD);
 }

 int main(){
     phi[][]=phi[][]=phi[][]=;
     for(L i=;i<M;i++){
         if(b[i]==) pri[++use]=i,phi[i][]=i-;
         for(L j=;j<=use&&i*pri[j]<M;j++){
             b[i*pri[j]]=;
             if(i%pri[j]==){phi[i*pri[j]][]=phi[i][]*pri[j]; break;}
             phi[i*pri[j]][]=phi[i][]*(pri[j]-);
         }
     }
     for(L i=;i<M;i++){
         phi[i][]=(phi[i-][]+1LL*i*i%MOD*phi[i][])%MOD;
         phi[i][]=(phi[i-][]+i*phi[i][])%MOD;
         phi[i][]=(phi[i-][]+phi[i][])%MOD;
     }
     L cas; cin>>cas;
     while(cas--) Main();
 }