【uoj#213】[UNR #1]争夺圣杯 单调栈+差分

题目描述

给出一个长度为 $n$ 的序列，对于 $1\sim n$ 的每一个数 $i$ ，求这个序列所有长度为 $i$ 的子区间的最大值之和，输出每一个 $i$ 的答案模 $998244353$ 后异或起来的结果即可。

$n\le 10^6$ 。

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题解

单调栈+差分

考虑位置 $i$ 作为最大值的贡献：使用单调栈求出这个数左面第一个大于等于它的位置 $lp_i$ ，和它后面第一个大于它的位置 $rp_i$ 。

那么所有以它为最大值的区间都满足：左端点在 $[lp_i+1,i]$ 范围内，右端点在 $[i,rp_i-1]$ 范围内。

设 $p=\text{min}(i-lp_i,rp_i-i)$ ，$q=\text{max}(i-lp_i,rp_i-i)$ ，那么 $i$ 的贡献相当于：

给 $[1,p)$ 内的长度 $x$ 加上 $x·a_i$ ；
给 $[p,q)$ 内的长度 $x$ 加上 $p·a_i$ ；
给 $[q,p+q)$ 内的长度 $x$ 加上 $(p+q-x)·a_i$ 。

维护两个差分数组，它们 $i$ 位置的的前缀和分别表示：给 $i$ 位置加上 $该数$ 、给 $i$ 位置加上 $该数·i$ 。

这样区间加、减就相当于在差分数组上修改。

最后统计前缀和，求答案即可。

时间复杂度 $O(n)$

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 1000010
#define mod 998244353
using namespace std;
typedef long long ll;
int sta[N] , top , lp[N] , rp[N];
ll a[N] , s[N] , ss[N];
inline void add(ll &x , ll y) {x = (x + y) % mod;}
inline void del(ll &x , ll y) {x = ((x - y) % mod + mod) % mod;}
int main()
{
	int n , i , p , q;
	ll ans = 0;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		scanf("%lld" , &a[i]);
		while(top && a[i] > a[sta[top]]) top -- ;
		lp[i] = sta[top] , sta[++top] = i;
	}
	top = 0 , sta[0] = n + 1;
	for(i = n ; i ; i -- )
	{
		while(top && a[i] >= a[sta[top]]) top -- ;
		rp[i] = sta[top] , sta[++top] = i;
		p = i - lp[i] , q = rp[i] - i;
		if(p > q) swap(p , q);
		add(ss[1] , a[i]) , del(ss[p] , a[i]);
		add(s[p] , p * a[i]) , del(s[q] , p * a[i]);
		del(ss[q] , a[i]) , add(ss[p + q] , a[i]) , add(s[q] , (p + q) * a[i]) , del(s[p + q] , (p + q) * a[i]);
	}
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) add(s[i] , s[i - 1]) , add(ss[i] , ss[i - 1]) , ans ^= (s[i] + ss[i] * i) % mod;
	printf("%lld\n" , ans);
	return 0;
}