SP419/422 TRANSP（2） - Transposing is Fun

首先可以发现转置本质上就是一个置换，问题就转化为求一个排列排成有序的最少次数。

这是一个经典问题，答案为点数减循环置换的个数，考虑如何求循环置换。

发现有两个特殊性质：置换为转置，矩阵的边长为 \(2\) 的次幂，据此我们首先不妨写出原本 \(i\) 这个标号换到了什么位置：

\[p_i = ((i - 1) \% 2 ^ n)2 ^ m + \lfloor \frac{i - 1}{2 ^ n} \rfloor + 1
\]

注意到所有与 \(i\) 有关的位置都是 \(i - 1\)，那么我们将标号整体减 \(1\)，置换就可以看作是二进制下补齐到 \(n + m\) 位后往左 shift \(m\) 位所得到的新二进制数。

不妨将所有 \(n + m\) 位的二进制数看成一个元素集合，所有本质不同的 \(k\) 次 shift（一种置换）看作是一种运算，两者一起是否构成一个置换群？

首先，容易得知本质不同的 shift 就是 \(mi \% (n + m)\) 不同的个数，即 \(\frac{n + m}{(m, n + m)} = \frac{n + m}{(n, m)}\).

接下来发现证明这是一个群是容易的，此时发现 \(|X / G|\) 就是原本排列的循环置换个数。

由于所有 \(n + m\) 位二进制数都能选到，于是考虑使用 polya 定理：

\[|X / G| = \frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G} |B| ^ {c(g)}
\]

考虑第 \(i\) 个置换的循环置换个数，发现他就等价于将所有元素往左 shift \(mi \% (n + m)\) 位，类似地有 \((n + m, (mi) \% (n + m))\) 个循环置换，那么答案为：

令 \(L = \frac{n + m}{(n, m)}\).

\[Ans = \frac{1}{L}\sum\limits_i ^ {L - 1} 2 ^ {(n + m, (mi) \% (n + m))}
\]

根据裴蜀定理，\(mi \% (n + m)\) 的取值集合为 \(i(n, m)(0 \le i \le L - 1)\)，则答案即：

\[\begin{aligned}
& \ \ \ \ \ \frac{1}{L}\sum\limits_i ^ {L - 1} 2 ^ {(n + m, i(n, m))} \\
&= \frac{1}{L}\sum\limits_i ^ {L - 1} 2 ^ {(L, i)(n, m)} \\
&= \frac{1}{L}\sum\limits_{i = 1} ^ L 2 ^ {(L, i)(n, m)} \\
&= \frac{1}{L}\sum\limits_{d \mid L} 2 ^ {d(n, m)} \sum\limits_{i = 1} ^ L [(i, L) = d] \\
&= \frac{1}{L}\sum\limits_{d \mid L} 2 ^ {d(n, m)} \varphi(L / d)
\end{aligned}
\]

注意到 \(d(n, m) \le L(n, m) \le n + m\)，那么线性预处理 \(n + m\) 内的 \(\varphi\) 和 \(2\) 的次幂，以及每个数的约数，每次询问枚举所有约数统计答案，复杂度 \(\mathcal{O}(Tn ^ {\frac{1}{3}} + n \ln n)\).