求方程 p+q+r+s+t=pqrst 的全体自然数解（约定p<=q<=r<=s<=t）

解：方程左右的表达式分别记为u和v. 由题设有5t>=u.

0本来是不算入自然数的，现在的趋势是把0也算作自然数.

若p=0，则v=0，为使得u=0成立，q、r、s、t都必需为0. 这样就得到方程的一个解：

p=q=r=s=t=0.

接下来考察p>0的情形：

若p>=2，则v>=16t. 而5t>=u，p<=t，故u=v无解.

于是只需考察p=1的情形，此时进一步考察q. 若q>=2，则v>=8t，同样易知u=v无解. 于是只需考察q=1的情形，此时原方程在p>0时等价于2+r+s+t=rst, (1<=r<=s<=t)

进一步考察r，若r>=2，则有u<=2+3t，v>=4t. 由t>=r>=2，知4t>=2+3t，于是在t=2时，u=v成立. 这样得到原方程的一个新解：

p=q=1，r=s=t=2.

接着考察p=q=r=1的情形，此时原方程等价于

3+s+t=st, (1<=s<=t)

若s=1，则方程化简为4+t=t，无解.

若s=2，则方程化简为5+t=2t，求解得t=5，于是得到一个新解：

p=q=r=1，s=2，t=5.

若s=3，则方程化简为6+t=3t，求解得t=3，于是又得到一个新解：

p=q=r=1，s=t=3.

若s>=4，则u<=3+2t<3t，v>=4t，易知u=v无解.

综上，原方程存在以下自然数解：

1、p=q=r=s=t=0

2、p=q=1，r=s=t=2

3、p=q=r=1，s=2，t=5

4、p=q=r=1，s=t=3