[Xavier] Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks
@article{glorot2010understanding,
title={Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks},
author={Glorot, Xavier and Bengio, Yoshua},
pages={249--256},
year={2010}}
概
本文提出了Xavier参数初始化方法.
主要内容
在第\(i=1, \ldots, d\)层:
\mathbf{z}^{i+1}= f(\mathbf{s}^i),
\]
其中\(\mathbf{z}^i\)是第\(i\)层的输入, \(\mathbf{s}^i\)是激活前的值, \(f(\cdot)\)是激活函数(假设其在0点对称, 且\(f'(0)=1\) 如tanh).
则
\]
在\(0\)附近近似成立(既然\(f'(0)=1\)), 其中\(z^i, w^i,\)分别是\(\mathbf{z}^i, W^i\)的某个元素, 且假设这些\(\{w^i\}\)之间是独立同分布的, \(w^i, z^i\)是相互独立的, 进一步假设\(\mathbb{E}(w^i)=0,\mathbb{E}(x)=0\)(\(x\)是输入的样本), 则
\]
在\(0\)点附近近似成立.
故
\]
其中\(n_i\)表示第\(i\)层输入的节点个数.
根据梯度反向传播可知:
\frac{\partial Cost}{\partial s_k^i} = f'(s_k^i) W_{k, \cdot}^{i+1} \frac{\partial Cost}{\partial \mathbf{s}^{i+1}}
\]
\frac{\partial Cost}{\partial w_{l,k}^i} = z_l^i \frac{\partial Cost}{\partial s_k^i}.
\]
于是
\mathrm{Var}[\frac{\partial Cost}{\partial s_k^i}] = \mathrm{Var}[\frac{\partial Cost}{\partial s^d}] \prod_{i'=i}^d n_{i'+1} \mathrm{Var} [w^{i'}],
\]
\]
当我们要求前向进程中关于\(z^i\)的方差一致, 则
\forall i, \quad n_i \mathrm{Var} [w^i]=1.
\]
当我们要求反向进程中梯度的方差\(\frac{\partial Cost}{\partial s^i}\)一致, 则
\forall i \quad n_{i+1} \mathrm{Var} [w^i]=1.
\]
本文选了一个折中的方案
\]
并构造了一个均匀分布, \(w^i\)从其中采样
\]
文章还有许多关于不同的激活函数的分析, 如sigmoid, tanh, softsign... 这些不是重点, 就不记录了.
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