Entropy, relative entropy and mutual information.

Entropy

\[H(X) = -\sum_{x} p(x) \log p(x),
\]

熵非负, 且当且仅当\(X\)确定性的时候为有最小值0, 即\(P(X=x_0)=1\).

Proof:

由\(\log\)的凹性可得

\[\begin{array}{ll}
H(X)
& = -\sum_{x} p(x) \log p(x) \\
& = \sum_{x} p(x) \log \frac{1}{p(x)} \\
& \ge \log 1=0.
\end{array}
\]

Joint Entropy

\[H(X,Y) := -\mathbb{E}_{p(x, y)} [\log p(x, y)] = \sum_{x \in \mathcal{X}} \sum_{y\in \mathcal{Y}} p(x, y) \log p(x, y).
\]

Conditional Entropy

\[\begin{array}{ll}
H(Y|X)
&= - \mathbb{E}_{p(x)} [H(Y|X=x)] \\
&= - \sum_{x \in \mathcal{X}} p(x) H(Y|X=x) \\
&= - \sum_{x \in \mathcal{X}} \sum_{y \in \mathcal{Y}} p(x)p(y|x) \log p(y|x) \\
&= - \sum_{x \in \mathcal{X}} \sum_{y \in \mathcal{Y}} p(x, y) \log p(y|x).
\end{array}
\]

注意 \(H(Y|X)\) 和 \(H(Y|X=x)\) 的区别.

Chain rule

\[H(X, Y) = H(X) + H(Y|X).
\]

proof:

根据\(p(y|x)=\frac{p(x, y)}{p(x)}\)以及上面的推导可知:

\[\begin{array}{ll}
H(Y|X)
&= H(X,Y) + \sum_{x \in \mathcal{X}} \sum_{y \in \mathcal{Y}} p(x, y) \log p(x) \\
&= H(X, Y) -H(X).
\end{array}
\]

推论:

\[H(X,Y| Z) = H(X|Z) + H(Y|X, Z).
\]
\[\begin{array}{ll}
H(Y|X,Z)
&= \mathbb{E}_{x,z} [H(Y|x,z)] \\
&= -\sum_{x,z} p(x,z) p(y|x,z) \log p(y|x,z) \\
&= -\sum_{x, z} p(x, y, z) [\log p(x, y|z) - \log p(x|z)] \\
&= \mathbb{E}_{z} H(X, Y|z) - \mathbb{E}_{z} H(X|z) = H(X, Y|Z) - H(X|Z).
\end{array}
\]

Mutual Information

\[I(X;Y) = H(X) - H(X|Y) = \sum_{x \in \mathcal{X}} \sum_{y \in \mathcal{Y}}p(x, y)\log \frac{p(x, y)}{p(x)p(y)}
\]
  • \(I(X; Y) = H(X) - H(X|Y) = H(Y) - H(Y|X) = I(Y;X) = H(X) + H(Y) - H(X, Y) \ge 0\)

  • \(I(X, X) = H(X)\)

Relative Entropy

\[D(p\|q) := \mathbb{E}_p (\log \frac{p(x)}{q(x)}) = \sum_{x\in \mathcal{X}} p(x) \log \frac{p(x)}{q(x)}.
\]

Chain Rules

Chain Rule for Entropy

设\((X_1, X_2,\ldots, X_n) \sim p(x_1, x_2, \ldots, x_n)\):

\[H(X_1, X_2, \ldots, X_n) = \sum_{i-1}^n H(X_i|X_{i-1}, \ldots, X_1).
\]

proof:

归纳法 + \(H(X, Y) = H(X) + H(Y|X)\).

Chain Rule for Mutual Information

Conditional Mutual Information

定义:

\[I(X;Y|Z) := H(X|Z) - H(X|Y,Z)= \mathbb{E}_{p(x, y,z)} \log \frac{p(X, Y| Z)}{p(X|Z)p(Y|Z)}.
\]

性质:

\[I(X_1, X_2, \ldots, X_n; Y) = \sum_{i=1}^n I(X_i;Y|X_{i-1}, \ldots, X_1).
\]

proof:

\[\begin{array}{ll}
I(X_1, X_2, \ldots, X_n; Y)
& =H(X_1, \ldots, X_n) + H(Y) - H(X_1,\ldots, X_n;Y) \\
&= H(X_1,\ldots, X_{n-1}) + H(X_n|X_1,\ldots, X_{n-1}) + H(Y) - H(X_1, \ldots, X_n;Y) \\
&= I(X_1, X_2,\ldots, X_{n-1};Y) + H(X_n|X_1,\ldots, X_{n-1}) - H(X_n|X_1, \ldots, X_{n-1};Y) \\
&= I(X_1, X_2,\ldots, X_{n-1};Y) + I(X_n;Y|X_1,\ldots, X_{n-1}). \\
\end{array}
\]

Chain Rule for Relative Entropy

定义:

\[\begin{array}{ll}
D(p(y|x)\|q(y|x))
&:= \mathbb{E}_{p(x, y)} [\log \frac{p(Y| X)}{q(Y|X)}] \\
&= \sum_x p(x) \sum_y p(y|x) \log \frac{p(y|x)}{q(y|x)}.
\end{array}
\]

性质:

\[D(p(x, y) \| q(x, y)) = D(p(x) \| q(x)) + D(p(y|x)\| q(y|x)).
\]

proof:

\[\begin{array}{ll}
D(p(x, y)\| q(x, y))
&= \sum_{x, y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{q(x, y)} \\
&= \sum_{x, y} p(x, y) \log \frac{p(y|x)p(x)}{q(y|x)q(x)} \\
&= \sum_{x, y} [p(x, y) (\log \frac{p(y|x)}{q(y|x)} + \log \frac{p(x)}{q(x)})]\\
&= D(p(x)\|q(x)) + D(p(y|x)\|q(y|x)).
\end{array}
\]

补充:

\[D(p(x, y) \| q(x, y)) = D(p(y) \| q(y)) + D(p(x|y)\| q(x|y)).
\]

故, 当\(p(x) = q(x)\)的时候, 我们可以得到

\[D(p(x, y) \| q(x, y)) = D(p(y|x)\| q(y|x)) \ge D(p(y)\|q(y))
\]
  1. \(D(p(y|x)\|q(y|x))=D(p(x, y)\| p(x)q(y|x))\)

  2. \(D(p(x_1, x_2,\ldots, x_n)\| q(x_1, x_2,\ldots, x_m)) = \sum_{i=1}^n D(p(x_i|x_{i-1}, \ldots, x_1)\|q(x_i| x_{i-1}, \ldots, x_1))\)

  3. \(D(p(y)\| q(y)) \le D(p(y|x)\|q(y|x))\), \(q(x)=p(x)\).

1, 2, 3的证明都可以通过上面的稍作变换得到.

Jensen's Inequality

如果\(f\)是凸函数, 则

\[\mathbb{E} [f(X)] \ge f(\mathbb{E}[X]).
\]

Properties

  • \(D(p\|q) \ge 0\) 当且仅当\(p=q\)取等号.
  • \(I(X; Y) \ge 0\)当且仅当\(X, Y\)独立取等号.
  • \(D(p(y|x)\|q(y|x)) \ge 0\) (根据上面的性质), 当且仅当\(p(y|x) = q(y|x)\)取等号, \(p(x) > 0\).
  • \(I(X; Y|Z) \ge 0\), 当且仅当\(X, Y\)条件独立.
  • \(H(X|Y)\le H(X)\), 当且仅当\(X, Y\)独立等号成立.
  • \(H(X_1, X_2, \ldots, X_n)\le \sum_{i=1}^n H(X_i)\), 当且仅当所有变量独立等号成立.

Log Sum Inequality

  • \(D(p\|q)\) 关于\((p, q)\)为凸函数, 即\(\forall 0\le \lambda \le 1\):
    \[D(\lambda p_1 + (1-\lambda)p_2\| \lambda q_1 + (1-\lambda)q_2) \le \lambda D(p_1\|q_1) + (1-\lambda)D(p_2 \| q_2).
    \]

此部分的证明, 一方面可以通过\(p\log\frac{p}{q}\)的凸性得到, 更有趣的证明是, 构造一个新的联合分布

\[p(x,c) = p_1 \cdot \lambda + p_2 \cdot (1- \lambda), q(x, c) = q_1 \cdot \lambda + q_2 \cdot (1-\lambda).
\]

\[p(x|c=0)=p_1, p(x|c=1)=p_2, q(x|c=0)=q_1, q(x|c=2)=q_2, \\
p(c=0)=q(c=0)=\lambda, p(c=1) = q(c=1) = 1-\lambda.
\]

并注意到\(D(p(y)\| q(y)) \le D(p(y|x)\|q(y|x))\).

  • \(H(X) = -\sum_{x \in \mathcal{X}} p(x) \log p(x)\)是关于\(p\)的凹函数.
  • \(I(X, Y) = \sum_{x, y} p(y|x)p(x) \log \frac{p(y|x)}{p(y)}\), 当固定\(p(y|x)\)的时候是关于\(p(x)\)的凹函数, 当固定\(p(x)\)的时候, 是关于\(p(y|x)\)的凸函数.

仅仅证明后半部分, 任给\(p_1(y|x), p_2(y|x)\), 由于\(p(x)\)固定, 故\(\forall 0 \le \lambda \le 1\):

\[p(x, y) := \lambda p_1(x, y) + (1-\lambda) p_2(x, y) = [\lambda p_1(y|x) + (1-\lambda) p_2(y|x)]p(x) \\
p(y): = \sum_x p(x, y) = \lambda \sum_x p_1(x, y) + (1-\lambda) \sum_{x} p_2(x, y) \\
q(x, y):= p(x)p(y) = \sum_x p(x, y) = \lambda p(x) \sum_x p_1(x, y) + (1-\lambda) p(x)\sum_{x} p_2(x, y) =: \lambda q_1(x, y) + (1-\lambda)q_2(x, y).\\
\]

\[I(X, Y) = D(p(x, y)\| p(x)p(y))=D(p(x, y)\| q(x,y)),
\]

因为KL散度关于\((p, q)\)是凸函数, 所以\(I\)关于\(p(y|x)\)如此.

Data-Processing Inequality

数据\(X \rightarrow Y \rightarrow Z\), 即\(P(X, Y,Z) = P(X)P(Y|X)P(Z|Y)\) 比如\(Y=f(X), Z = g(Y)\).

\[I(Y, Z;X) = I(X;Y) + I(X;Z|Y)= I(X;Z) + I(X;Y|Z),
\]

\[I(X;Z|Y) = \sum_{x, y, z} p(x, y, z) \log \frac{p(x,z|y)}{p(x|y)p(z|y)} = \sum_{x,y,z}p(x,y,z) \log 1 = 0. \\
I(X;Y|Z) = \sum_{x,y,z} p(x,y,z) \log \frac{p(x|y)}{p(x|z)}\ge 0.
\]

\[I(X;Z) \le I(X;Y) \\
I(X;Y|Z) \le I(X;Y).
\]

Sufficient Statistics

Statistics and Mutual Information

  • 一族概率分布\(\{f_{\theta(x)}\}\)

  • \(X \sim f_{\theta}(x)\), \(T(X)\)为其统计量, 则

    \[\theta \rightarrow X \rightarrow T(X)
    \]
  • \[I(\theta;X) \ge I(\theta;T(X))
    \]

Sufficient Statistics and Compression

充分统计量定义: 一个函数\(T(X)\)被称之为一族概率分布\(\{f_{\theta}(x)\}\)的充分统计量, 如果给定\(T(X)=t\)时\(X\)的条件分布与\(\theta\)无关, 即

\[f_{\theta}(x) = f(x|t) f_{\theta}(t) \Rightarrow \theta \rightarrow T(X) \rightarrow X \Rightarrow I(\theta;T(X)) \ge I(\theta;X).
\]

此时, \(I(\theta;T(X))= I(\theta;X)\).

最小充分统计量定义: 如果一个充分统计量\(T(X)\)与其余的一切关于\(\{f_{\theta}(x)\}\)的充分统计量\(U(X)\)满足

\[\theta \rightarrow T(X) \rightarrow U(X) \rightarrow X.
\]

Entropy, relative entropy and mutual information的更多相关文章

  1. 论文解读( N2N)《Node Representation Learning in Graph via Node-to-Neighbourhood Mutual Information Maximization》

    论文信息 论文标题:Node Representation Learning in Graph via Node-to-Neighbourhood Mutual Information Maximiz ...

  2. 互信息(Mutual Information)

    本文根据以下参考资料进行整理: 1.维基百科:https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%92%E4%BF%A1%E6%81%AF 2.新浪博客:http://blog. ...

  3. Mutual information and Normalized Mutual information 互信息和标准化互信息

    实验室最近用到nmi( Normalized Mutual information )评价聚类效果,在网上找了一下这个算法的实现,发现满意的不多. 浙江大学蔡登教授有一个,http://www.zju ...

  4. 泡泡一分钟:Robust and Fast 3D Scan Alignment Using Mutual Information

    Robust and Fast 3D Scan Alignment Using Mutual Information 使用互信息进行稳健快速的三维扫描对准 https://arxiv.org/pdf/ ...

  5. Computer Vision_33_SIFT:A novel coarse-to-fine scheme for automatic image registration based on SIFT and mutual information——2014

    此部分是计算机视觉部分,主要侧重在底层特征提取,视频分析,跟踪,目标检测和识别方面等方面.对于自己不太熟悉的领域比如摄像机标定和立体视觉,仅仅列出上google上引用次数比较多的文献.有一些刚刚出版的 ...

  6. Image Processing and Analysis_15_Image Registration:Multi-modal volume registration by maximization of mutual information——1996

    此主要讨论图像处理与分析.虽然计算机视觉部分的有些内容比如特 征提取等也可以归结到图像分析中来,但鉴于它们与计算机视觉的紧密联系,以 及它们的出处,没有把它们纳入到图像处理与分析中来.同样,这里面也有 ...

  7. Point-wise Mutual Information

    Point-wise Mutual Information (Yao, et al 2019) reclaimed a clear description of Point-wise Mutual I ...

  8. 双目立体匹配经典算法之Semi-Global Matching(SGM)概述:匹配代价计算之互信息(Mutual Information,MI)

      半全局立体匹配算法Semi-Global Matching,SGM由学者Hirschmüller在2005年所提出1,提出的背景是一方面高效率的局部算法由于所基于的局部窗口视差相同的假设在很多情况 ...

  9. Mutual Information

    Mutal Information, MI, 中文名称:互信息. 用于描述两个概率分布的相似/相关程度. 常用于衡量两个不同聚类算法在同一个数据集的聚类结果的相似性/共享的信息量. 给定两种聚类结果\ ...

随机推荐

  1. JTable 单元格合并 【转】

    单元格合并 一.单元格合并.(1)我们可以使用Jtable的三个方法:getCellRect(),columnAtPoint(),and rowAtPoint().第一个方法返回一个单元格的边界(Re ...

  2. winXP 下安装python3.3.2

    1. 安装python-3.3.2 2. 安装setuptools 下载解压后,进入路径 python setup.py install 3.安装pip 下载解压后,进入路径 python setup ...

  3. 【分布式】Zookeeper伪集群安装部署

    zookeeper:伪集群安装部署 只有一台linux主机,但却想要模拟搭建一套zookeeper集群的环境.可以使用伪集群模式来搭建.伪集群模式本质上就是在一个linux操作系统里面启动多个zook ...

  4. Maven pom.xml报错解决

    用Maven建了一个web工程,总是在pom.xml头的地方报错: 大概是: Original error: Could not transfer artifact org.hamcrest:hamc ...

  5. Gitlab安装操作说明书

    一.Gitlab安装操作步骤 登录官方网站https://about.gitlab.com/downloads/根据你所需要的系统版本,作者使用的是centos6, 检查您的服务器是否符合硬件要求.g ...

  6. SpringMVC(3):AJAX

    一,AJAX 简介 AJAX = Asynchronous JavaScript and XML(异步的 JavaScript 和 XML) AJAX 不是新的编程语言,而是一种使用现有标准的新方法 ...

  7. linux查询健康状态,如何直观的判断你的Linux系统是否健康

    一提到对于查看系统运行的健康状况,可能大多数朋友考虑到的就是查看进程或者打开任务管理器,但是对于应用在真实生产环境中服务器的linux系统来说,以上两种方式都不是***效的查看方式,那么今天就给大家推 ...

  8. linux系统下安装dubbo-admin

    1.在安装dubbo-admin之前确保你得linux服务器上已经成功安装了jdk,tomcat, 若还没安装jdk以及tomcat则参考我的上一篇文章"linux环境下安装jdk,tomc ...

  9. 阿里云发布CloudOps白皮书,ECS自动化运维套件新升级

    12月10 日,2021云上架构与运维峰会上,阿里云发布业界首部<云上自动化运维白皮书>(简称CloudOps白皮书),并在其中提出了CloudOps成熟度模型.同时,阿里云还宣布了ECS ...

  10. C#ADO.NET技术总结

    [ADO.NET的主要组件-..NET framework数据提供程序和DataSet(数据集)] 一.DataSet数据集负责对数据库执行命令. 二.NET framework数据提供程序的四个核心 ...