Codeforces Round #701 (Div. 2) 题解

由于今天实在是太自闭了就前来写场已经 AK 的 div.2 的题解了

这场比赛是我的 div.2 首 AK 哦

A

先特判 \(b=1\)，强制将 \(b+1\)

否则容易发现答案最大为 \(\log_ab\)，所以直接枚举 \(b\) 加了多少次，枚举到 \(30\) 就行了。

B

考虑一个数组 \([a_1,a_2,\dots,a_n]\) 有多少个与其 \(k\)-similar 的数组。

对于 \(2\leq i\leq n-1\)，如果我们替换 \(a_i\) 为 \(x\)，那么必须有 \(a_{i-1}<x<a_{i+1}\) 且 \(x\neq a_i\)，共有 \(a_{i+1}-a_{i-1}-2\) 种选择。

如果我们替换 \(a_1\) 为 \(x\)，那么必须有 \(1\leq x<a_2\) 且 \(x\neq a_1\)，有 \(a_2-2\) 种选择，替换 \(a_n\) 也同理。

故答案为 \(a_{l+1}-2+k-1-a_{r-1}+\sum\limits_{i=l+1}^{r-1}a_{i+1}-a_{i-1}-2\)，前缀和维护一下即可。

注意特判 \(l=r\)。

C

现场降智了写了个整除分块。。。

设 \(r=a\bmod b\)，注意到 \(a=br+r=(b+1)r\leq x\)，而 \(b>r\)，故 \(r(r+1)<x\)。

考虑直接枚举 \(r\)，那么我们就要统计 \(r<b\leq y\) 且 \((b+1)r\leq x\) 的 \(b\) 有多少个。显然为 \(\max(0,\min(y,\lfloor\dfrac{x}{r}\rfloor-1)-c)\)

D

这题 tm 竟然卡了我 40min

暴力显然是不行的，不过我们发现一个性质，那就是 \(1\sim 16\) 的 LCM 为 \(720720\)，并且 \(16^4<720720<10^6\)

于是考虑黑白染色，白色格子填 \(720720\)，黑色格子填 \(720720-x^4\)，这样就符合题目的条件了。

E

首先注意到红色棋子移动的路线一定是从根节点开始，向下移动一段距离到达某个点 \(x_1\)，然后跳到同一深度的某一点 \(y_1\)，然后再向下移动一段距离到达某个点 \(x_2\)，然后再跳到某个 \(y_2\)，以此类推直到到达叶子节点。

于是考虑 \(dp\)，我们设 \(dp_i\) 表示红色棋子走到 \(i\) 处的答案的最大值。

但发现这样不好表示当前深度是否进行了交换，于是考虑换个状态，\(dp1_i\) 表示红色棋子位于 \(i\)，并且在当前深度没有进行交换的最大值，\(dp2_i\) 表示红色棋子位于 \(i\)，并且在当前深度已经进行了交换的最大值。

状态转移方程：

\(dp1_i=\max(dp1_{fa_i}+mxv_{fa_i},dp2_i)\)

\(dp2_i=\max\limits_{j\ \text{与}\ i\ \text{在同一深度}}dp1_j+|a_j-a_i|\)

一看就懂。

其中 \(mxv_i\) 表示在与 \(i\) 同一深度的点 \(j\) 中 \(|a_j-a_i|\) 的最大值，显然 \(j\) 要么是与 \(i\) 同一深度中的点中权值最大的，要么是与 \(i\) 同一深度的点中权值最小的。

但是朴素地计算 \(dp2_i\) 最坏可达 \(n^2\)。不过注意到当 \(a_j<a_i\) 时的贡献为 \(dp1_j+a_i-a_j\)，\(a_j>a_i\) 时的贡献为 \(dp1_j+a_j-a_i\)，于是我们考虑将每一深度的点的权值从小到大排序，然后从小到大、从大到小各扫一遍并实时分别维护 \(dp1_j-a_j\)，\(dp1_j+a_j\) 的最大值，这样转移复杂度就讲到 \(n\log n\) 了。

F

一道水水的 F。

首先求一遍 \(b\) 数组的前缀和 \(s_i\)

考虑一个 naive 的 dp 状态，\(dp_{i,j}\) 表示填了前 \(i\) 个位置，上一个 \(a_j\neq b_j\) 的位置为 \(j\)。

那么有转移方程式：

\(\begin{cases}dp_{i,j}\rightarrow dp_{i+1,j}\\dp_{i,j}\times[b_{i+1}-(s_i-s_{j-1})\neq b_{i+1}]\rightarrow dp_{i+1,i+1}\end{cases}\)

考虑将两维压成一维，设 \(f_i=\sum dp_{i,j}\)，那么 \(f_i=\sum\limits_{j=0}^{i-1}f_j\times[(s_{i-1}-s_{j-1})\neq 0\)，于是再实时维护一个 \(t_x=\sum\limits_{s_{i-1}=x}f_i\) 就可以行了。这个可以用 std::map 实现，复杂度线对