GSpan-频繁子图挖掘算法

GSpan频繁子图挖掘算法，网上有很多相关的介绍，中文的一些资料总是似是而非，讲的不是很清楚（感觉都是互相抄来抄去，，，基本都是一个样，，，），仔细的研读了原论文后，在这里做一个总结。

1. GSpan频繁子图挖掘算法：

总的思想是，先生成频繁树，再在频繁树的基础上，生成频繁子图，满足最小支持度，满足最小DFS编码的所有频繁子图。

GraphGen.

输入:图集 GD,最小支持度阈值 min_sup;

输出:频繁子图集合 FG.

(1)     扫描图集并找到图集 GD 中所有频繁边;

(2)     删除所有非频繁边;

(3)     E→{GD中所有频繁边};

(4)     将 E 中的边按 DFS 编码顺序（后文中有介绍）和频率的降序进行排列;

(5)    T→NULL; /*T为频繁子树集合*/

(6)     t→e1; /*E中的第 1 条边作FTGen的初始值*/

(7)     FTGen(D,t,E,T); /*频繁树生成算法*/（后文中有介绍）

(8)     将集合 T 中的元素按节点数与 DFS 编码顺序进行排序;

(9)     FG→T;

(10)  for T 中的每棵树

(11)         g→t;

(12)         E‘{e是频繁边,且 e 是内边（后文中有介绍）,并能在图集中找到(g<>e)};

(13)         for E' 中的每条边

(14)               E' →E‘ - e;

(15)                       g→g<>e;

(16)                       if g ≠ min(g) then break;

(17)                       if FG中无 g 的同构子图 then FG <— FG‘ ∪ g;

(18)             endfor;

(19)    endfor;

(20)    return FG;

GraphGen 分为 3 个部分,算法 2 给出了这种算法的细节.

算法在第 1 部分(第 1 行~第 6 行)对图集 GD进行预处理.作为图挖掘的基础,必须从图集中提取出必要的 信息,如频繁边集、频繁节点集等.在这一部分中,GraphGen 扫描图集 GD并得到频繁边集,将频繁边集按频率递 减与 DFS 编码值递增的顺序进行排列,供算法进一步计算。

算法在第 2 部分(第 7 行)进行频繁子树的挖掘工作,具体的挖掘过程后面的频繁树生成算法。

算法的第 3 部分(第 8 行~第 19 行)是由树向图的扩展过程.针对每一棵频繁子树,从频繁边集中找出能与之 联接的内边,逐一加入到该树,从而形成频繁子图.算法在第 12 行找到所有能与图 g 联接的频繁内边,并将这些 边在第 13 行~第 17 行的子循环中加入到图 g 中.算法的执行结果为频繁子图集合 FG。

与FTGen相似,算法GraphGen主体的时间复杂性也分为两部分:一部分是子图同构的时间复杂性.由于子图 同构的测试是NP完全问题,算法在第 17 行进行的图同构测试,其时间复杂性为O(2n);另一部分是扩展边的时间 复杂性.由于我们仅向频繁图中加入内边,通过两层循环完成,因此,这部分时间复杂性为O(n2).边的每一次扩展, 都需要检验所生成的图是否与结果集的元素重复,因此,算法总的时间复杂性为O(2n·n2)。

2. 算法 2. FTGen.频繁子树生成算法

输入:图集 GD,频繁子树 t,频繁边集 E;

输出:频繁子树集 T.

(1)      if t ≠ min(t) then return; /*检查 t 是否具有最小 DFS 编码*/（后文中有介绍）

(2)        E‘ <— {e是频繁外边};

(3)     for E‘ 中的每条边

(4)           E‘ <— E‘ - e;

(5)           if (t<>e)存在于图集中;

(6)           then t <— t<>e;

(7)           if (T中无 t 的同构子树) then T<—T∪ t;

(8)                FTGen(GD,t,E,T);

endfor;

3. 定义：外边，内边：

在图的扩展过程中,如果一条扩展边引入了一个新的节点,则称该扩展边为外边,由eo表示.若该扩 展边未引入新的节点(扩展边的两个节点已存在于该图中),则称其为内边。

4. 定义：最小DFS编码：

4.1 什么是DFS编码？

对图进行深度优先遍历

　　所有节点根据发现时间排序

　　最后发现的节点叫做最右节点

　　从第一个节点到最右节点的直线路径叫做最右路径

　　所有边表示为五元组(i,j,ni,lij,nj)

　　前向边i<j

　　后向边i>j

　　边的排序：e1<e2, if

　　同是前向边，且j1<j2

　　同是后向边，且i1<i2或者i1=i2&& j1<j2

　　e1是前向边，e2是后向边，且j1<=i2

　　e1是后向边，e2是前向边，且i1<j2

　　根据边的次序得到的边序列是图的DFS编码

eg:

最小DFS编码：

eg:

4.2 DFS编码树：

4.3 DFS树的剪枝：

剪枝后的所有生成树，DFS编码最小的就是最小DFS编码树。