HDU2256&&HDU4565:给一个式子的求第n项的矩阵快速幂
HDU2256
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2256
题意:求(sqrt(2)+sqrt(3))^2n%1024是多少。
这个题算是hdu4565的一个常数版本了,所以我们先说这道题。对于这道题的做法我们可以计算((sqrt(2)+sqrt(3))^2)^n=(5+2*sqrt(6))^n,对于(5+2*sqrt(6))^n我们知道答案必定是以an+bn*sqrt(6),而对于下一项我们只需要求(an+bn*sqrt(6))*(5+2*sqrt(6))=5*an+12*bn+2*an*sqrt(6)+5*bn*sqrt(6),所以a(n+1)=5*an+12*bn; b(n+1)=2*an+5*bn。有了这个递推式我们就可以构造矩阵求an,bn。
这里还有一点对于(5+2*sqrt(6))^n=an+bn*sqrt(6); 同理(5-2*sqrt(6))^n=an-bn*sqrt(6);两式相加(5+2*sqrt(6))^n+(5-2*sqrt(6))^n=2*an,当n趋于无穷的时候lim(5-2*sqrt(6))^n=0,因为5-2*sqrt(6)<1。
所以我们可以得到答案(5+2*sqrt(6))^n约等于2*an,且实际值是比2*an要小的且小于2*an-1要大的,所以由题目的意思我们向下取整,ans=2*an-1;具体看代码,其他都是矩阵快速幂的模板。
//Author: xiaowuga
#include <bits/stdc++.h>
#define maxx INT_MAX
#define minn INT_MIN
#define inf 0x3f3f3f3f
#define n 2
#define MOD 1024
using namespace std;
typedef long long ll;
struct Matrix{
ll mat[][];
Matrix operator * (const Matrix & m) const{
Matrix tmp;
for(int i=;i<n;i++)
for(int j=;j<n;j++){
tmp.mat[i][j]=;
for(int k=;k<n;k++){
tmp.mat[i][j]+=mat[i][k]*m.mat[k][j]%MOD;
tmp.mat[i][j]%=MOD;
}
}
return tmp;
}
};
Matrix POW(Matrix &m,int k){
Matrix ans;
memset(ans.mat,,sizeof(ans.mat));
for(int i=;i<n;i++) ans.mat[i][i]=;
while(k){
if(k&) ans=ans*m;
k/=;
m=m*m;
}
return ans;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);cin.tie();
ll T,num;
cin>>T;
while(T--){
cin>>num;
Matrix m;
m.mat[][]=; m.mat[][]=; m.mat[][]=; m.mat[][]=;
Matrix ans=POW(m,num-);
ll sum=,f[]={,};
for(int i=;i<;i++)
sum+=ans.mat[][i]*f[i]%MOD;
sum%=MOD;
ll x=(*sum-)%MOD;
cout<<x<<endl;
}
return ;
}
HDU4565
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4565
题意:算是上面那道题的一个升级版本啦。现在是a和b不是固定的的常数了。和上面的做法一样。注意题目中给出a-sqrt(b)<1的条件,所以基本和上道题是一样的了,类比一下吧!很简单的。但是这里是向上取整,所以答案是2*an。具体看代码吧。由于上面那道题在常数情况下已经说得很明白了。这道题就不说了
//Author: xiaowuga
#include <bits/stdc++.h>
#define maxx INT_MAX
#define minn INT_MIN
#define inf 0x3f3f3f3f
#define size 2
int MOD;
using namespace std;
typedef long long ll;
struct Matrix{
ll mat[][];
void clear(){
memset(mat,,sizeof(mat));
}
Matrix operator * (const Matrix & m) const{
Matrix tmp;
for(int i=;i<size;i++)
for(int j=;j<size;j++){
tmp.mat[i][j]=;
for(int k=;k<size;k++){
tmp.mat[i][j]+=mat[i][k]*m.mat[k][j]%MOD;
tmp.mat[i][j]%=MOD;
}
}
return tmp;
}
};
Matrix POW(Matrix &m,int k){
Matrix ans;
memset(ans.mat,,sizeof(ans.mat));
for(int i=;i<size;i++) ans.mat[i][i]=;
while(k){
if(k&) ans=ans*m;
k/=;
m=m*m;
}
return ans;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);cin.tie();
ll a,b,n;
while(cin>>a>>b>>n>>MOD){
Matrix m;
m.clear();
m.mat[][]=m.mat[][]=a%MOD;
m.mat[][]=b%MOD;m.mat[][]=;
Matrix ans=POW(m,n-);
ll sum=(ans.mat[][]*a%MOD+ans.mat[][]%MOD)%MOD;
cout<<*sum%MOD<<endl;
}
return ;
}
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