矩阵快速幂+概率DP poj 3744

题意：在一条不满地雷的路上，你现在的起点在1处。在N个点处布有地雷，1<=N<=10。地雷点的坐标范围：[1,100000000].

每次前进p的概率前进一步，1-p的概率前进1-p步。问顺利通过这条路的概率。就是不要走到有地雷的地方。

 

设dp[i]表示到达i点的概率，则 初始值 dp[1]=1.

很容易想到转移方程： dp[i]=p*dp[i-1]+(1-p)*dp[i-2];

但是由于坐标的范围很大，直接这样求是不行的，而且当中的某些点还存在地雷。

 

N个有地雷的点的坐标为 x[1],x[2],x[3]```````x[N].

我们把道路分成N段：

1~x[1];

x[1]+1~x[2];

x[2]+1~x[3];

`

`

`

x[N-1]+1~x[N].

 

这样每一段只有一个地雷。我们只要求得通过每一段的概率。乘法原理相乘就是答案。

对于每一段，通过该段的概率等于1-踩到该段终点的地雷的概率。

 

就比如第一段 1~x[1].  通过该段其实就相当于是到达x[1]+1点。那么p[x[1]+1]=1-p[x[1]].

但是这个前提是p[1]=1,即起点的概率等于1.对于后面的段我们也是一样的假设，这样就乘起来就是答案了。

 

对于每一段的概率的求法可以通过矩阵乘法快速求出来。

 /*
 POJ 3744

 C++  0ms 184K
 */
 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<math.h>
 using namespace std;

 struct Matrix
 {
     double mat[][];
 };
 Matrix mul(Matrix a,Matrix b)
 {
     Matrix ret;
     for(int i=;i<;i++)
       for(int j=;j<;j++)
       {
           ret.mat[i][j]=;
           for(int k=;k<;k++)
             ret.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];
       }
     return ret;
 }
 Matrix pow_M(Matrix a,int n)
 {
     Matrix ret;
     memset(ret.mat,,sizeof(ret.mat));
     for(int i=;i<;i++)ret.mat[i][i]=;
     Matrix temp=a;
     while(n)
     {
         if(n&)ret=mul(ret,temp);
         temp=mul(temp,temp);
         n>>=;
     }
     return ret;
 }

 int x[];
 int main()
 {
     int n;
     double p;
     while(scanf("%d%lf",&n,&p)!=EOF)//POJ上G++要改为cin输入
     {
         for(int i=;i<n;i++) scanf("%d",&x[i]);
         sort(x,x+n);
         double ans=;
         Matrix tt;
         tt.mat[][]=p;
         tt.mat[][]=-p;
         tt.mat[][]=;
         tt.mat[][]=;
         Matrix temp;

         temp=pow_M(tt,x[]-);
         ans*=(-temp.mat[][]);

         for(int i=;i<n;i++){
             if(x[i]==x[i-])continue;
             temp=pow_M(tt,x[i]-x[i-]-);
             ans*=(-temp.mat[][]);
         }
         printf("%.7lf\n",ans);//POJ上G++要改为%.7f
     }
     return ;
 }