经典算法 BFPRT算法详解
内容:
1、原始问题 =》 O(N*logN)
2、BFPRT算法 =》 O(N)
1、原始问题
问题描述:给你一个整型数组,返回其中第K小的数
普通解法:
这道题可以利用荷兰国旗改进的 partition 和随机快排的思想:随机选出一个数,将数组以该数作比较划分为 <,=,> 三个部分,
则 = 部分的数是数组中第几小的数不难得知,接着对 < (如果第K小的数在 < 部分)或 > (如果第K小的数在 > 部分)部分的数
递归该过程,直到 = 部分的数正好是整个数组中第K小的数。这种做法不难求得时间复杂度的数学期望为 O(NlogN) (以2为底)。
但这毕竟是数学期望,在实际工程中的表现可能会有偏差(最坏情况下的时间复杂度会达到O(N^2))
BFPRT算法可以说是这种算法的一种优化吧,故在此就不写这种解法的代码了
另外一种普通解法:
用堆去做,时间复杂度是靠谱的O(N*logk)
代码如下:
// 大根堆比较器
public static class MaxheapComparator implements Comparator<Integer> {
@Override
public int compare(Integer o1, Integer o2) {
return o2 - o1;
}
} // O(N*logk)的解法
public static PriorityQueue getMinKNumsByHeap(int[] arr, int k) {
if (k < 1 || k > arr.length) {
return null;
}
PriorityQueue<Integer> kHeap = new PriorityQueue<Integer>(k,
new MaxheapComparator());
for (int i = 0; i != k; i++) {
kHeap.add(arr[i]);
}
for (int i = k; i != arr.length; i++) {
if (arr[i] < kHeap.peek()) {
kHeap.poll();
kHeap.add(arr[i]);
}
}
return kHeap;
} public static void main(String[] args) {
int[] arr = { 1, 3, 2, 5, 9 };
// 测试普通方法
System.out.println(getMinKNumsByHeap(arr, 1).peek());
System.out.println(getMinKNumsByHeap(arr, 2).peek());
System.out.println(getMinKNumsByHeap(arr, 3).peek());
System.out.println(getMinKNumsByHeap(arr, 4).peek());
System.out.println(getMinKNumsByHeap(arr, 5).peek());
}
2、BFPRT算法
BFPRT算法能够做到时间复杂度就是 O(N) BFPRT算法,接收一个数组和一个K值,返回数组中的一个数
1. 数组被划分为了 N/5 个小部分,每个部分的5个数排序需要 O(1) ,所有部分排完需要 O(N/5)=O(N)
2. 取出每个小部分的中位数,一共有 N/5 个,递归调用BFPRT算法得到这些数中第 (N/5)/2 小的数(即这些数 的中位数),记为 pivot
3. 以 pivot 作为比较,将整个数组划分为 <pivot , =pivot , >pivot 三个区域
4. 判断第K小的数在哪个区域,如果在 = 区域则直接返回 pivot ,如果在 < 或 > 区域,则将这个区域的数递 归调用BFPRT算法
5. base case :在某次递归调用BFPRT算法时发现这个区域只有一个数,那么这个数就是我们要找的数
// O(N)的解法
public static int getMinKthNum(int[] arr, int k){
if(arr==null||k>arr.length){
return Integer.MIN_VALUE;
}
int[] copyArr = Arrays.copyOf(arr, arr.length);
return BFPRT(copyArr, 0, arr.length-1, k-1);
} private static int[] partition(int[] arr, int begin, int end, int pivot){
int L = begin-1;
int R = end + 1;
int cur = begin;
while(cur!=R){
if(arr[cur]>pivot){
swap(arr, cur, --R);
} else if(arr[cur]<pivot){
swap(arr, cur++, ++L);
} else{
cur++;
}
}
return new int[]{L+1, R-1};
} private static int BFPRT(int[] arr, int begin, int end, int i) {
if (begin == end) {
return arr[begin];
}
int pivot = medianOfMedians(arr, begin, end);
int[] pivotRange = partition(arr, begin, end, pivot);
if(i>=pivotRange[0]&&i<=pivotRange[1]){
return arr[i];
} else if(i<pivotRange[0]){
return BFPRT(arr, begin, pivotRange[0]-1, i);
} else{
return BFPRT(arr, pivotRange[1] + 1, end, i);
}
} private static int medianOfMedians(int[] arr, int begin, int end) {
int num = end - begin + 1;
int offset = num % 5 == 0 ? 0 : 1;
int[] medians = new int[num / 5 + offset];
for (int i = 0; i < medians.length; i++) {
int beginI = begin + i * 5;
int endI = beginI + 4;
medians[i] = getMedian(arr, beginI, Math.min(endI, end));
}
return BFPRT(medians, 0, medians.length - 1, medians.length / 2);
} private static int getMedian(int[] arr, int begin, int end){
insertionSort(arr, begin, end);
int sum = end + begin;
int mid = (sum/2) + (sum%2);
return arr[mid];
} private static void insertionSort(int[] arr, int begin, int end){
if(begin>=end){
return;
}
for(int i=begin+1;i<=end;i++){
for(int j=i;j>begin;j--){
if(arr[j]<arr[j-1]){
swap(arr, j, j-1);
} else{
break;
}
}
}
} private static void swap(int[]arr , int i, int j){
int tmp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = tmp;
}
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