【ZJOI 2014】力
Problem
Description
给出 \(n\) 个数 \(q_i\),给出 \(F_j\) 的定义如下:
\]
令 \(E_i=F_i/q_i\),求 \(E_i\)。
Input Format
第一行一个整数\(n\)。
接下来 \(n\) 行每行输入一个数,第 \(i\) 行表示 \(q_i\)。
Output Format
\(n\) 行,第 \(i\) 行输出 \(E_i\)。与标准答案误差不超过 \(10^{-2}\) 即可。
Sample
Input
5
4006373.885184
15375036.435759
1717456.469144
8514941.004912
1410681.345880
Output
-16838672.693
3439.793
7509018.566
4595686.886
10903040.872
Range
对于所有的数据,\(n\leq 100000,\ 0<q_i<10^9\)。
Algorithm
多项式
Mentality
\]
设 \(g_i=\frac{1}{i^2}\) ,则有:
\]
单独算每个 \(E_i\) 的前一部分,再算所有 \(E_i\) 的后一部分。
由于 \(q_0=g_0=0\) ,则对于:
\]
直接 \(FFT\) 求得。
对于后一部分,将 \(q\) 数组翻转得到数组 \(p\) 。
则有:
\]
同样直接 \(FFT\) 计算。
Code
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
#define cp complex<double>
const int Max_n = 3e5 + 5;
const double pi = acos(-1);
int n;
int rev[Max_n];
double dv[Max_n], ans[Max_n], q[Max_n];
cp f[Max_n], g[Max_n];
namespace FFT {
int lim, bit;
void dft(cp *f, int t) {
for (int i = 0; i < lim; i++)
if (rev[i] > i) swap(f[rev[i]], f[i]);
for (int len = 1; len < lim; len <<= 1) {
cp Wn = exp(cp(0, t * pi / len));
for (int i = 0; i < lim; i += len << 1) {
cp Wnk(1, 0);
for (int k = i; k < i + len; k++, Wnk *= Wn) {
cp x = f[k], y = Wnk * f[k + len];
f[k] = x + y, f[k + len] = x - y;
}
}
}
}
void fft(double *a, double *b, int tot) {
lim = 1, bit = 0;
while (lim <= tot) lim <<= 1, bit++;
for (int i = 0; i < lim; i++)
rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (bit - 1));
for (int i = 0; i < lim; i++) f[i] = a[i], g[i] = b[i];
dft(f, 1), dft(g, 1);
for (int i = 0; i < lim; i++) f[i] *= g[i];
dft(f, -1);
for (int i = 0; i < lim; i++) f[i] /= lim;
}
} // namespace FFT
using namespace FFT;
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("3338.in", "r", stdin);
freopen("3338.out", "w", stdout);
#endif
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf", &q[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++) dv[i] = (double)(1.0 / i / i);
fft(q, dv, n << 1);
for (int i = 1; i <= n; i++) ans[i] += f[i].real();
reverse(q + 1, q + n + 1);
fft(q, dv, n << 1);
for (int i = 1; i <= n; i++)
printf("%.2lf\n", (ans[i] -= f[n - i + 1].real()));
}
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