二叉树总结(五)伸展树、B-树和B+树
一、伸展树
伸展树(Splay Tree)是一种二叉排序树,它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。
因为,它是一颗二叉排序树,所以,它拥有二叉查找树的性质;除此之外,伸展树还具有的一个特点是:当某个节点被访问时,伸展树会通过旋转使该节点成为树根。这样做的好处是,下次要访问该节点时,能够迅速的访问到该节点。但是,它并不是单纯的把访问的节点放
到树根就完了,它还能减少该节点的访问路径上的节点的深度。
假设想要对一个二叉查找树执行一系列的查找操作。为了使整个查找时间更小,被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法,在每次查找之后对树进行重构,把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。伸展树应运而生,它是一种自
调整形式的二叉查找树,它会沿着从某个节点到树根之间的路径,通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。
伸展树保证从空树开始的任意连续的m次对树的操作最多话费花费O(mlogn)时间(n是节点数);因此,它不存在坏的输入序列。
自底向上伸展树
伸展树包含之字形和一字型两种情形。
之字形情况
找到的节点是X时,类似平衡二叉树中的LR旋转的情况,可以将X变成树根;
一字型情况
找到的节点是X时,类似平衡二叉树中的LL旋转的情况,使用两次LL旋转时就可以将X变成树根;
P(X) : 获得X的父节点,G(X) : 获得X的祖父节点(=P(P(X)))。
Function Buttom-up-splay:
Do
If X 是 P(X) 的左子结点 Then
If P(X)是G(X)的左子结点
P(X) 绕G(X)右旋
Endif
X 绕P(X)右旋
Else If X 是 P(X) 的右子结点 Then
If P(X)是G(X)的右子结点
P(X) 绕G(X)左旋
Endif
X 绕P(X)左旋
Endif
While (P(X) != NULL)
EndFunction
自顶向下伸展树
在自底向上的伸展树中,我们需要求一个节点的父节点和祖父节点,因此这种伸展树难以实现。因此,我们可以构建自顶向下的伸展树。
当我们沿着树向下搜索某个节点X的时候,我们将搜索路径上的节点及其子树移走。我们构建两棵临时的树──左树和右树。没有被移走的节点构成的树称作中树。在伸展操作的过程中:
- 当前节点X是中树的根。
- 左树L保存小于X的节点。
- 右树R保存大于X的节点。
基本的zig旋转
类似LL旋转,将X的子树放到R树上。
zig-zag旋转
两次LL旋转,将Z变成树根,注意,第二次旋转B的位置是,变成X的右子树;
以上是左旋转的情况,它会把路径上的节点放到R树上,如果是右旋转,则它会把路径上的节点类似的挂到L树上。
合并
最后当找到目标节点时,合并L树、中树、R树。
只需要将目标节点当做树根,L树当做目标节点的左子树,目标节点的原左子树放到L树的右子树;同理R树作为目标节点的右子树,原目标节点的右子树作为R树的左子树。
二、B-树
定义:
一棵m阶B-树是拥有以下性质的多路查找树:
- 非叶子结点的根结点至少拥有两棵子树;
- 每一个非根且非叶子的结点含有k-1个关键字以及k个子树,其中⌈m/2⌉≤k≤m;
非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1;
非叶子结点的关键字:K[1], K[2], …, K[M-1];且K[i] < K[i+1];
非叶子结点的指针:P[1], P[2], …, P[M];其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树,P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树,其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树;
- 所有的叶子结点都在同一层。
B-树的特性:
- 关键字集合分布在整颗树中;
- 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中;
- 搜索有可能在非叶子结点结束;
- 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找;
- 自动层次控制;
下图是一颗3阶B-树:
插入
删除
应用
- B-tree索引是数据库中存取和查找文件(称为记录或键值)的一种方法。
- 硬盘中的结点是B-tree结构的
实现
参考:https://www.roading.org/algorithm/introductiontoalgorithm/b-%E6%A0%91%E7%9A%84c%E5%AE%9E%E7%8E%B0.html
三、B+树
其定义基本与B-树同,除了:
- 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同;
- 非叶子结点的子树指针P[i],指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树(B-树是开区间);
- 为所有叶子结点增加一个链指针;
- 所有关键字都在叶子结点出现;
B+的搜索与B-树也基本相同,区别是B+树只有达到叶子结点才命中(B-树可以在非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找;
B+的特性:
- 所有关键字都出现在叶子结点的链表中(稠密索引),且链表中的关键字恰好是有序的;
- 不可能在非叶子结点命中;
- 非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引),叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层;
- 更适合文件索引系统;
查找
应用
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