【scipy 基础】--最优化

SciPy库的optimize模块主要用于执行各种优化任务。
优化是寻找特定函数的最小值或最大值的过程，通常用于机器学习、数据分析、工程和其他领域。

scipy.optimize提供了多种优化算法，包括梯度下降法、牛顿法、最小二乘法等，可以解决各种复杂的优化问题。
该模块还包含一些特定的函数，用于解决某些特定类型的优化问题，如多维非线性优化、约束优化、最小二乘问题等。
此外，scipy.optimize还提供了一些工具，如多线程支持、边界条件处理、数值稳定性措施等，以提高优化的效率和准确性。

1. 主要功能

最优化是数学学科中的一个重要研究领域，optimize模块包含的各类函数能够帮助我们节省大量的计算时间和精力。

类别	说明
优化	包含标量函数优化，局部优化，全局优化等各类方法
最小二乘法和曲线拟合	包含求解最小二乘法问题，各种拟合曲线的方法
求根	包含多种求根的方法，比如布伦特方法，牛顿-拉夫森方法等10来种求根方法
线性规划	内置多种线性规划算法以及混合整数线性规划计算等
分配问题	解决线性和分配问题，包括二次分配和图匹配问题的近似解等
工具函数	包含一些通用的计算方法，比如有限差分近似，海森近似，线搜索等计算函数
遗留函数	即将被淘汰的一些函数，不建议再继续使用

下面通过曲线拟合和非线性方程组求解两个示例演示optimize模块的使用。

2. 曲线拟合示例

所谓曲线拟合，其实就是找到一个函数，能够尽可能的经过或接近一系列离散的点。
然后就可以用这个函数来预测离散点的变化趋势。

2.1. 最小二乘法

optimize模块的最小二乘法拟合曲线需要定义一个目标函数和一个残差函数。
最小二乘法通过迭代寻找目标函数中参数的最优值，
而残差函数是用来计算目标函数的返回值和实际值之间的误差的。

首先，加载需要拟合的离散数据。

import pandas as pd

data = pd.read_csv("d:/share/data/A0A01.csv")
data = data[data["zb"] == "A0A0101"]
data = data.sort_values("sj")
data.head()

数据来源：https://databook.top/nation/A0A （其中的A0A01.csv）

然后，依据其中1978年~2022年的居民人均可支配收入绘制散点图。

from matplotlib.ticker import MultipleLocator
import matplotlib.pyplot as plt

ax = plt.subplot()
ax.scatter(data["sjCN"], data["value"], marker='*', color='r')
ax.xaxis.set_major_locator(MultipleLocator(4))
ax.set_title("居民人均可支配收入(元)")

plt.xticks(rotation=45)
plt.show()

最后，用optimize模块提供的最小二乘法拟合居民人均可支配收入的变化曲线。

from scipy.optimize import least_squares

# 目标函数
def target_func(p, x):
    return p[0]*np.exp(p[1]*x) + p[2]

# 残差函数
def residual(p, x, dy):
    return target_func(p, x) - dy

p0 = [1, 1, 0]
x = range(len(data))
y = data["value"]
# 最小二乘法迭代目标函数的参数
result = least_squares(residual, p0, args=(x, y))

ax = plt.subplot()
ax.xaxis.set_major_locator(MultipleLocator(4))
ax.set_title("居民人均可支配收入(元)")

ax.scatter(data["sjCN"], data["value"], marker='*', color='r')
# 这里的result.x就是迭代后的最优参数
ax.plot(x, target_func(result.x, x), color='g')

plt.xticks(rotation=45)
plt.show()

图中绿色的曲线就是拟合的曲线，根据拟合出的曲线和目标函数，
就可以预测以后的居民人均可支配收入的变化情况。

2.2. curve_fit方法

最小二乘法需要定义目标函数和残差函数，使用起来有些繁琐，optimize模块中还提供了一个curve_fit函数。
可以简化曲线拟合的过程。

from scipy.optimize import curve_fit

# 目标函数
def curve_fit_func(x, p0, p1, p2):
    return p0*np.exp(p1*x) + p2

# fitp 就是计算出的目标函数的最优参数
fitp, _ = curve_fit(curve_fit_func, x, y, [1, 1, 0])

ax = plt.subplot()
ax.xaxis.set_major_locator(MultipleLocator(4))
ax.set_title("居民人均可支配收入(元)")

ax.scatter(data["sjCN"], data["value"], marker='*', color='r')
ax.plot(x, curve_fit_func(x, *fitp), color='b')

plt.xticks(rotation=45)
plt.show()

蓝色的线就是拟合曲线，拟合结果和使用最小二乘法拟合出的是一样的，只是代码可以简化一些。

3. 非线性方程组求解示例

众所周知，手工求解非线性方程是非常困难的，如果经常遇到求解非线性方程的情况，optimize模块绝对能成为你的一个称手工具。

3.1. 非线性方程

使用optimize模块求解非线性方程非常简单。
比如方程：\(2^x+sin(x)-x^3=0\)

from scipy.optimize import root

f = lambda x: 2**x + np.sin(x) - x**3

result = root(f, [1, 1], method='hybr') 

# result.x 是方程的解
result.x
# 运行结果：
array([1.58829918, 1.58829918])

实际使用时，将变量f对应的方程换成你的方程即可。
注意，求解方程的 root 方法的参数method，这个参数支持多种求解方程的方法，可以根据方程的特点选择不同的method。

支持的method列表可参考官方文档：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/optimize.html#multidimensional

3.2. 非线性方程组

对于方程组，求解的方法如下：
比如方程组：\(\begin{cases}
\begin{align*}
x^2 +y-3 & =0 \\
(x-2)^2+y-1 & =0
\end{align*}
\end{cases}\)

fs = lambda x: np.array(
    [
        x[0] ** 2 + x[1] - 3,
        (x[0] - 2) ** 2 + x[1] - 1,
    ]
)

result = root(fs, [1, 1], method="hybr")
result.x
# 运行结果：
array([1.5 , 0.75])

方程组中方程个数多的话，直接添加到变量fs的数组中即可。

4. 总结

总的来说，scipy.optimize是一个强大且易用的优化工具箱，用于解决各种复杂的优化问题。
它对于需要优化算法的许多科学和工程领域都具有重要价值。
通过使用这个模块，用户可以节省大量时间和精力，同时还能保证优化的质量和准确性。