【状压DP】bzoj1087 互不侵犯king

一、题目

Description

在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上、下、左、右，以及左上、左下、右上、右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

Input

只有一行，包含两个数N，K （ 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N）

Output

方案数

Sample Input

3 2

Sample Output

16

原题链接→_→bzoj1087: [SCOI2005]互不侵犯King

二、题目分析

其实我们可以用一张美妙的表来解决这道题（划掉）这道题我们首先考虑暴搜解决，然而似乎状态略多会炸……

搜索不行，我们很容易能想到DP，这里我们引入一个神奇的DP——状态压缩型动态规划。状态压缩是状压DP的核心（废话！），本人在上一篇blog中详细介绍了状态压缩的思想，诸位看官不妨移步一看，可能会对理解状压DP起到一定帮助（链接→_→【宽度优先搜索】神奇的状态压缩 CodeVs1004四子连棋）

对于每一行的状态，我们用1表示国王，0表示不放国王。由于每个位置只有0和1两种状态，我们可以使用位运算判断每行的状态是否合法。例如：10101010就是一种合法状态，而11111111就不合法。每行状态表示的十进制数就是我们压缩后的状态。

我们需要做两个预处理，先枚举每行所有可能的状态，记录下合法状态。然后判断两个状态是否能作为临行放置，并用布尔类型的二维数组存储其关系。

预处理之后，就是常规的DP，状态转移方程如下：

f[i][j][now]=∑f[i-1][j-num[now]][q]

略作说明：f[i][j][k]代表前i行，总共放j个国王，第i行状态为k时的方案数。状态转移方程中的num[now]代表状态为now的行中国王的数目，q表示第i-1行的状态。

三、代码实现

 #include<stdio.h>
 int n,k;
 long long ans;
 bool s[],map[][];//判断状态是否合法；判断两个状态是否能作为临行
 int num[];//num[i]代表编号为i的状态含有的国王数
 long long f[][][];
 int sum;
 void pre_s()//预处理s数组
 {
     int i;
     for(i=;i<sum;++i)
     {
         if((i&(i<<))==)
         {
             s[i]=true;
             int t=i,cnt=;
             while(t)
             {
                 cnt+=(t&);
                 t>>=;
             }
             num[i]=cnt;
             f[][cnt][i]=;
         }
     }
 }
 void pre_map()//预处理map数组
 {
     int i,j;
     for(i=;i<sum;++i)
     {
         if(!s[i])continue;
         for(j=;j<sum;++j)
         {
             if(!s[j])continue;
             if((!(i&j))&&(!((i<<)&j))&&(!((i>>)&j)))map[i][j]=true;
         }
     }
 }
 void dp()
 {
     int i,j,now;
     for(i=;i<=n;++i)
         for(j=;j<=k;++j)
             for(now=;now<sum;++now)
             {
                 if(!s[now])continue;
                 if(num[now]>j)continue;
                 int q;
                 for(q=;q<sum;q++)
                 {
                     if(!s[q])continue;
                     if(!map[now][q])continue;
                     if(num[q]+num[now]>j)continue;
                     f[i][j][now]+=f[i-][j-num[now]][q];
                 }
             }
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&k);
     sum=<<n;
     pre_s();
     pre_map();
     dp();
     for(int i=;i<sum;++i)
     {
         if(!s[i])continue;
         ans+=f[n][k][i];
     }
     printf("%lld",ans);
     return ;
 } 

bzoj1087 互不侵犯king

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