CF55D

题目大意：

　　定义：beautiful number，一种能整除它的所有非 0 数位的数字。

　　给你 l 和 r，请求出 [l,r] 中 beautiful number 的个数。

解题思路：

　　数位 DP 。

　　首先要指出的一点是：lcm(1,2,3, ... ,9) = 2520。则对于任何一个数 num，num = 2520k + num'，我们有 num % 2520 % t = num' % t = num % t (t = 1,2,3, ... , 9)，其实也不难理解：因为 2520k 必定被 t 整除，所以 num % t 其实就等于 num' % t 。下面是一个就 t % (x*n) % x = t % x 的严格证明：

　　设 t = k*x + t' 。则有 t%x = t' 。令 k = a*n+b，则 t % (x*n) % x = (k*x+t') % (x*n) % x = (a*n*x + b*x + t') % (n*x) % x = (b*x + t') % x = t' 。原等式得证。

　　如此一来，我们便可将所有的数字对着 2520 取一下模，压缩状态。

　　我们可以定义 dp[pos][now][prelcm]：其中 pos 表示当前遍历到的位置，now 表示当前数字的大小，prelcm 表示前面的几个数字的最小公倍数，如此我们需要定义 dp[20][2520][2521]，虽然已经十分优秀，但似乎还有点大？其实我们还可以用离散化来优化一下：虽说 lcm(1,2,3, ... ,9) = 2520，但我们绝对不可能取尽这两千多个数，你说对吧？

　　至于其他的，其实就都是套路了，数位 DP 其实也是有套路滴~

AC代码：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>

 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int MOD = ;
 ll index[MOD+];
 ll dp[][MOD][];
 int num[];
 void init(){
     int cnt=;
     for(int i=;i<=MOD;i++){
         if(MOD%i==)    index[i]=cnt++;
     }
 }
 ll gcd(ll a,ll b){
     if(b==)    return a;
     return gcd(b,a%b);
 }
 ll lcm(ll a,ll b){
     return a/gcd(a,b)*b;
 }
 ll dfs(int pos,int prelcm,int now,bool limit){
     if(pos==-){
         if(now%prelcm==)  return ;
         return ;
     }
     if(!limit&&dp[pos][now][index[prelcm]]!=-)    return dp[pos][now][index[prelcm]];
     int up=limit?num[pos]:;
     ll ret=;
     for(int i=;i<=up;i++){
         int next=(now*+i)%MOD;
         int tlcm=prelcm;
         if(i)   tlcm=lcm(tlcm,i);
         ret+=dfs(pos-,tlcm,next,limit&&i==up);
     }
     if(!limit)  dp[pos][now][index[prelcm]]=ret;
     return ret;
 }
 ll solve(ll x){
     if(x==)    return ;
     int ind=;
     memset(num,,sizeof(num));
     while(x){
         num[ind++]=x%;
         x/=;
     }
     return dfs(ind-,,,true);
 }
 int main()
 {
     init();
     memset(dp,-,sizeof(dp));
     ll l,r;
     int t;
     scanf("%d",&t);

     while(t--){
         scanf("%I64d%I64d",&l,&r);
         printf("%I64d\n",solve(r)-solve(l-));
     }
     return ;
 }