IC-二进制, 自然数, 有符号数

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零. 概念和结论

1. 数：概念名，指代物体的多少，即物体的量的概念；

2. 值：概念属性，数的值，是数的大小的衡量；

3. 十进制：值的表示，是数值在形式上的表现。形式相对内涵（意义）而言，某种形式表示的符号需要人来解读才有意义。十进制是人类自然而然形成的数值表示形式：

a. 包括十个符号表示十个基本数值：阿拉伯数字：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

b. 使用进位（满十进一）来表示所有自然数: 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,...；

4. 自然数：Natural number, 人类在进化过程中自然而然用来计数、排序的数字。用现代划分，即为非负整数。十进制也是人类在进化过程中自然而然采用的数值表示形式，十进制的符号可以完整表示自然数；

5. 非自然数：指人类根据自然数和后来的实际需要，引申出来的数值表示形式。非自然数无法仅仅使用十进制的十个基本符号表达。小数需要添加小数点，分数需要添加分数线，负数需要添加负号，无理数需要根号、循环负号、省略号，虚数需要i，等等。

6. 符号：引入负数时，引入符号的概念。分为正负号。在引入负数之前，自然数可以认为是无符号的数字。引入负数之后，自然数被认为是带有负号的数字，0以上的自然数带有正号，0以下的整数带有负号。

7. 编码：使用基本数值符号表示非自然数的形式、方法，也就是不使用正负号、小数点、分数线等；

8. 二进制：使用0,1这两个基本数值符号和“满二进一”的进位规则的数值表示形式；同样，在不考虑符号的情况下，二进制也只是自然数的表示形式。即，无符号二进制数表示的是自然数。

9. 二进制编码：（不考虑浮点数的情况下）使用0,1这两个基本数值符号表示自然数和负整数的编码方式。因为不使用正负号，则需要使用0和1分别表示正号和负号。

原码把符号编码和数值编码分开处理，包括四则运算时也是分开处理。

补码则把符号编码和数值编码统一处理，包括四则运算时也统一处理。

原码和补码因负整数而存在，不考虑符号，则不存在这两个概念，只有二进制数（0,1,满二进一）的概念。

一. 二进制

 

二进制是指以2为基数，满二进一，以0,1为基本数值符号的数值表示形式。二进制是计算机中使用的数值表示形式，参考十进制引入。

二进制首先是一个数值表示形式。数，首先是自然数。四则运算，首先是自然数的四则运算。

即：二进制数值表示形式，首先解决自然数的表示和四则运算。其次，才考虑如何解决小数、分数、无理数、虚数的表示方法和运算方法。

 

二. 无符号数就是自然数

 

无符号二进制数，即是没有引入符号的二进制数，所有的位都是数值的表示，不包含符号。这种形式表示的数值是自然数。

自然数的四则运算：加和乘可以自然进行，结果也可以自然表示，没有问题。减存在不够减的问题，除存在除不尽的问题。这个与进制无关，十进制也存在这样的问题。

在引入符号和负数以前，如小学低年级学习减法和除法，减法需要先比较大小，然后再减；除法的结果则有商和余数两个值。

 

三.有符号数的编码方式

 

不引入符号，则二进制数只有数值部分。引入符号和负数的概念，则需要表达正负号。计算机不如人类，可以直接用笔写正号和负号，或者印刷正号和负号。目前而言，计算机中所有的一切都是使用0和1进行表示，也包括正号和负号。

编码针对有符号数而言，即如何使用二进制数值符号0和1表示符号部分和数值部分。

原码：符号部分和数值部分分开处理

四则运算运算时，也把符号部分和数值部分分开处理。加负数相当于减；减负数相当于加；乘则把符号提取出来单独相乘，再把最终的符号赋给积，负负得正；除的符号亦是如此。

补码：符号部分和数值部分统一处理，即符号部分参与运算。

首先，反码不是独立的编码。其次，补码是可以把符号位带入运算，着实很神奇，这里略去不表。

 

四.计算机中需要几种加减乘除实现

 

这取决于有符号数编码能否实现符号带入运算。

如果有符号数使用原码表示，则每种运算需要两种实现：

把二进制数据全部当成数值部分的无符号数运算，即二进制自然数运算;

把二进制数据当成是符号部分和数值部分编码在一起的原码表示的有符号数运算；

 

如果有符号数使用补码表示，根据Java Integer类的说法，二的补码表示方法，可以实现加减乘统一运算，除不可以。所以加减乘只需要一种实现处理无符号数（不考虑符号的数）和有符号数的运算，而除法则需要分开处理，有两种实现。（再考）