约数个数函数(d)的一个性质证明

洛谷P3327 [SDOI2015]约数个数和

洛谷P4619 [SDOI2018]旧试题

要用到这个性质，而且网上几乎没有能看的证明，所以特别提出来整理一下。

\[
d(AB) = \sum_{x|A} \sum_{y|B} [\gcd (x,y) = 1]
\]

（看上去比较不可思议对吧）

右侧的枚举，一部分因子算多了（比如当 \(\gcd(x,y)=1\) 且额外有 \(x|B,y|A\) 时，可以枚举出 \(x*y = y*x\) ），一部分因子又没有算（比如当 \(\gcd(A,B) \not= 1\) 时的 \(A*B\) ）。但是算多和算少之间达成了诡异的平衡。（并没有找出这种平衡如何证明，下面的证明是从另一个角度得来的）

首先考虑 \(A,B\) 互质的情况。显然此时右式中的 \([\gcd (x,y) = 1]\) 恒成立。而左式可以通过积性函数的性质拆开。两侧都为 \(d(A)*d(B)\) ，成立。（其实并没有这样分互质不互质讨论的必要，但是这样想能让我们的思路更加清晰）

那么考虑 \(\gcd(A,B) \not= 1\) 时的情况。不妨先证明 \(A = p^a, B = p^b\) （ \(p\) 是素数）时等式成立。

这部分的证明是容易的。根据约数个数的定义，左式显然为 \(a+b+1\)。对于右式，设 \(x = p^c, y= p^d\) ，若要使 \([\gcd (x,y) = 1]\) 成立， \(c,d\) 中至少有一个为 \(0\) 。那么当 \(b=0\)时，\(c \in [0, a]\)；当 \(a=0\) 时， \(c \in [0,b]\)。排除重复的 \(c=0, d=0\) ，共有 \(a+b+1\) 个情况成立，与左式相同，故等式成立。

讨论更加一般的情况。有了前面的证明，我们考虑将 \(AB\) 分解质因数后食用，分解后的每一项的形式为 \(p^{a+b}\) 。左边根据约数个数基本性质“指数加一连乘积”，即每一个 \(p\) 对应的 \((a+b+1)\) 之积。对于右侧，前证说明对于每个 \(p\) ，合法的 \(c,d\) 的选择有对应的 \(a+b+1\) 种，要让 \([\gcd(x,y)=1]\) 需要每一个 \(p\) 都是合法情况。而每个 \(p\) 相对独立，其本质就是许多个“选择”，直接用乘法原理合并起来即可，于是也与左式相同。这样就证毕了。

证明思路很像积性函数的合并，也许对其他一些积性函数命题的证明这种方法也管用。

对于形如
\[
d(ABC) = \sum_{x|A} \sum_{y|B} \sum_{z|C} [\gcd (x,y) = 1] [\gcd (y,z) = 1] [\gcd (x,z) =1]
\]

的加强多元版，证明思路基本相同，不再赘述。