luogu2679 子串

题目大意

　　有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串,然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一 个新的字符串,请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等?注意:子串取出 的位置不同也认为是不同的方案。对于所有 10 组数据:1≤n≤1000,1≤m≤200,1≤k≤m。

题解

　　本题的错误解法是定义状态$f(i, j, k)$为字符串$A$的前$i$个字符，字符串$B$的前$j$个字符已经匹配完，且已经分了$k$块时的方案最多为多少，状态转移为$f(i+1,j,k)+=f(i,j,k),若A_{i+1}=B_{j+1},则f(i+1,j+1,k)+=f(i,j,k),f(i+1,j+1,k+1)+=f(i,j,k)$。

　　本算法错在我们没有记录$f(i,j,k)$中$i$有没有选在子串中，这使各类关于$k$的转移，如$f(i+1,j+1,k)+=f(i,j,k)$等，不成立。

　　所以正确解法为定义状态$f(i,j,k,0)$表示第$i$位选在子串中，$f(i,j,k,1)$表示没有选，这样就有递归式：$f(i+1,j,k,0)+=f(i,j,k,0),若A_{i+1}=B_{i+1},f(i+1,j+1,k+1,1)+=f(i,j,k,0)$;$f(i+1,j,k,0)+=f(i,j,k,1),若A_{i+1}=B_{i+1},f(i+1,j+1,k,1)+=f(i,j,k,1),f(i+1,j+1,k+1,1)+=f(i,j,k,1)$。初始条件$f(i,0,0,0)=1$

踩过的坑

• 滚动数组每一次都要清空！
• $j=0$时，只有$f(i,0,0,0)$有意义，其它都没有意义，所以$f(i,0,...)$不能向$f(i+1,0,...)$转移。
• 最后输出结果的时候别忘了取模呀！

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define ll long long
#define F(i, j, k, t) DP[(i) & 1][j][k][t]
const int MAX_N = 1010, MAX_M = 210;
const ll P = 1e9 + 7;
char A[MAX_N], B[MAX_M];
ll DP[2][MAX_M][MAX_M][2];
int N, M, K;

ll Dp()
{
    A[0] = '*', B[0] = '-';
    for (int i = 0; i <= N; i++)
    {
        memset(DP[i + 1 & 1], 0, sizeof(DP[i + 1 & 1]));
    	F(i, 0, 0, 0) = 1;
    	for (int j = 0; j <= M; j++)
        	for (int k = 0; k <= K; k++)
        	{
        		//t = 1
        		if (j > 0)
        			F(i + 1, j, k, 0) = (F(i + 1, j, k, 0) + F(i, j, k, 1)) % P;
        		if (A[i + 1] == B[j + 1])
        		{
            		F(i + 1, j + 1, k, 1) = (F(i + 1, j + 1, k, 1) + F(i, j, k, 1)) % P;
            		F(i + 1, j + 1, k + 1, 1) = (F(i + 1, j + 1, k + 1, 1) + F(i, j, k, 1)) % P;
        		}
        		//t = 0
        		if (j > 0)
        			F(i + 1, j, k, 0) = (F(i + 1, j, k, 0) + F(i, j, k, 0)) % P;
        		if (A[i + 1] == B[j + 1])
            		F(i + 1, j + 1, k + 1, 1) = (F(i + 1, j + 1, k + 1, 1) + F(i, j, k, 0)) % P;
        	}
    }
    return (F(N, M, K, 0) + F(N, M, K, 1)) % P;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d\n", &N, &M, &K);
    scanf("%s", A + 1);
    scanf("%s", B + 1);
    printf("%lld\n", Dp());
    return 0;
}