2-sat总结

算法

构造一个有向图G，每个变量xi拆成两个点2i和2i+1
分别表示xi为假，xi为真
那么对于“xi为真或xj为假”这样的条件
我们就需要连接两条边
2*i —>2*j(表示如果i为假，那么j必须是假)
2*j+1—>2*i+1(表示如果j为真，那么i必须是真)
这就有点像推导的过程
实际上每一个限制条件都会对应两条“对称”的边

接下来逐考虑每个没有赋值的变量，设为x
我们先假定x为假（为什么一定是假，约定俗成了）
之后沿着从ta出发的有向边进行标记
如果在标记过程中，发现有一个点的两种状态都被标记过了
那么我们之前的假设就被推翻了
需要改成x为真，重新标记
如果发现无论这个点赋值成真还是假，都会引起矛盾
可以证明这个2-SAT无解

可能我的叙述有点容易让读者yy
但是一定要注意：

这个算法没有回溯过程

建边：

1.我们利用一条有向边<i,j>，来表示选i的情况下，一定要选j;

2.用i表示某个点是true,那么i'表示某个点是false

3.因为限制的两两之间的关系，所以我们可以通过逻辑关系来建边：

1）如果给出A和B的限制关系，A和B必须一起选，(A and B)||(!A and !B )==true 那么选A必须选B，建边<i,j>和<j,i>还有<i',j'>和<j',i'>

2）如果给出A和B的限制关系，选A不能选B，那么(A && !B)||(!A && B )==true,建边<i,j'>和<j,i'>

3）如果必须选A,那么A==true,建边<i',i>

4）如果A一定不能选，那么!A==true.建边<i,i'>

解决方案

1.求字典序最小的解的方法：

暴力dfs求解（复杂度O(N*M)）

2.判断当前的2-sa问题t是否有解

tarjan强连通缩点，加判断（复杂度O(N+M)）

3.求出当前的2-sat问题的任意一组解

tarjan强连通缩点+拓扑排序+构建一组解（复杂度O（N+M)）

至于想要知道当前元素归到了哪一边，看bl，哪个小就是哪个。（具体见POJ3683）

题目：

1、 POJ 3207

2、 POJ 3683

3、 POJ 3678

4、 POJ 3648

5、 POJ 2723

6、 POJ 2749