朴素贝叶斯法（naive Bayes）

《统计学习方法》（第二版）第4章

4 朴素贝叶斯法

生成模型

4.1 学习与分类

1. 基于特征条件独立假设学习输入输出的联合概率分布

2. 基于联合概率分布，利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出

条件独立假设

\[
P(X=x|Y=c_k)=\prod_{j=1}^n P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)
\]

等于说用于分类的特征在类确定的条件下都是条件独立的。

联合概率分布\(P(X,Y)\)

需要学习先验概率分布\(P(Y=c_k)\)和条件概率分布\(P(X=x|Y=c_k)\)

因为\(P(X=x,Y=c_k)=P(Y=c_k)P(X=x|Y=c_k)\)

后验概率最大

将后验概率最大的类作为\(x\)的类输出。
\[
后验概率：P(Y=c_k|X=x)=\frac{P(Y=c_k)\prod_{j=1}^n P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}
{\sum_kP(Y=c_k)\prod_{j=1}^n P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}
\]

\[
朴素贝叶斯分类器：y=\arg \max_{c_k}P(Y=c_k)\prod_{j=1}^n P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)
\]

等价于期望风险最小化.

期望风险\(R_{exp}(f) = E[L(Y, f(X))]\)

选择0-1损失函数，经验风险最小化函数
\[
f(x)=\arg \min_{y \in Y} \sum_{k=1}^K L(c_k,y)P(c_k|X=x) \\
=\arg \min_{y \in Y}P(y≠c_k|X=x) \\
=\arg \min_{y \in Y}(1-P(y=c_k|X=x)) \\
=\arg \max_{y \in Y}P(y=c_k|X=x) \\
\]

4.2 参数估计

极大似然估计

\[
P(Y=c_k)=\frac{\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)}{N}
\]

\[
P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{\sum_{i=1}^NI(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)}{\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)}
\]

可能会出现所要估计的概率值为0的情况，会影响到后验概率的计算，从而使分类产生偏差。

朴素贝叶斯算法

1. 计算先验概率及条件概率
2. 对于给定的实例\(x\)，计算后验概率
3. 根据后验概率最大的确定实例\(x\)的类

贝叶斯估计

\[
P_\lambda(Y=c_k)=\frac{\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)+\lambda}{N+K\lambda}
\]

\[
P_\lambda (X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{\sum_{i=1}^NI(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)+\lambda}{\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)+S_j\lambda}
\]

其中\(\lambda>0\)，常取\(\lambda=1\)，称为拉普拉斯平滑。\(K\)为\(Y\)取值个数，\(S_j\)为\(x\)的特征\(l\)的个数。