洛谷P3588 - [POI2015]Pustynia

Description

给定一个长度为$n(n\leq10^5)$的正整数序列$\{a_n\}$，每个数都在$[1,10^9]$范围内，告诉你其中$s$个数，并给出$m(m\leq2\times10^5)$条信息。每条信息包含三个数$L,R,k(Σk\leq 3\times10^5)$以及$k$个正整数$\{x_k\}$，表示$a_L..a_R$中，任意一个$x$均比剩下的$R-L+1-k$个数大（严格大于，即没有等号）。请任意构造出一组满足条件的方案，或者判断无解。

Solution

拓扑排序+线段树优化建图。

定义点权为$val$；存在一条边权为$w$的边$(u,v)$表示$val[v]\geq val[u]+w$。

首先考虑朴素的做法。建立$n$个点，$val[i]$表示$a_i$的值。对于每一条信息，新建一个点$p$，$val[p]$表示$min\{x_k\}$；剩下的数分别向$p$连一条边权为$1$的边（$min\{x_k\}$大于剩下的数），$p$向$x_1..x_k$分别连一条边权为$0$的边（$x_i$大于等于$min\{x_k\}$）。初始时入度为$0$的点若没有值则令其$val=1$，然后进行拓扑排序，如果成环或与初值冲突则无解。这样共有$O(nm)$条边。

考虑到边权为$1$的边的起点相当于$k+1$个区间，我们可以用线段树来优化建图。举例：$n=8,a_3=7,a_5=4,a_7=2$，$[1,4]$中最大的是$\{2,3\}$，$[4,8]$中是$\{6\}$，$[1,8]$中是$\{2\}$。

其中虚线边的权值为$0$，实线边的权值为$1$。对于蓝线以上的点（线段树上的点），其$val$表示区间中的最大值；对于蓝线以下的点（条件所代表的点），其$val$表示$min\{x_k\}$。意义还是很明确的：例如边$([3,4],\{2\})$的权值为$1$，表示$min\{a_2\}>max\{3,4\}$。同样机型拓扑排序并判断无解即可。至于边数...线段树上有$2n$条边，$m$条信息总共划分了$m+Σk$个区间，每个区间对应$O(logn)$条边，$\{x_k\}$共对应$Σk$条边；共计约$2n+Σk+(m+Σk)logn$条边。当然实际上要小很多，因为一条信息中所有区间的和是$[1,n]$，每个区间对应的边数远不足$logn$。算这么多干嘛直接开vector能过就行啊

Code

//[POI2015]Pustynia

#include <cstdio>

#include <queue>

#include <vector>

using namespace std;

inline char gc()

{

    static char now[1<<16],*s,*t;

    if(s==t) {t=(s=now)+fread(now,1,1<<16,stdin); if(s==t) return EOF;}

    return *s++;

}

inline int read()

{

    int x=0; char ch=gc();

    while(ch<'0'||'9'<ch) ch=gc();

    while('0'<=ch&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();

    return x;

}

inline int max(int x,int y) {return x>y?x:y;}

const int N=1e5+10;

int n,n1,m;

int cnt,rt,chL[N<<1],chR[N<<1];

const int N1=4e5+10;

int edCnt;

int val[N1],a[N1],in[N1],id[N];

vector< pair<int,bool> > son[N1];

inline void edAdd(int u,int v,bool w) {edCnt++; in[v]++; son[u].push_back(make_pair(v,w));}

void bldTr(int &p,int L0,int R0)

{

    if(!p) p=++cnt;

    if(L0==R0) {id[L0]=p; return;}

    int mid=L0+R0>>1;

    bldTr(chL[p],L0,mid),bldTr(chR[p],mid+1,R0);

    edAdd(chL[p],p,0),edAdd(chR[p],p,0);

}

int optL,optR;

void trEdAdd(int p,int L0,int R0)

{

    if(optL<=L0&&R0<=optR) {edAdd(p,cnt,1); return;}

    int mid=L0+R0>>1;

    if(optL<=mid) trEdAdd(chL[p],L0,mid);

    if(mid<optR) trEdAdd(chR[p],mid+1,R0);

}

queue<int> Q;

int main()

{

    n=read(),n1=read(),m=read();

    bldTr(rt,1,n);

    for(int i=1;i<=n1;i++) {int u=id[read()]; val[u]=a[u]=read();}

    for(int i=1;i<=m;i++)

    {

        int L=read(),R=read(),k0=read();

        cnt++; int pre=L;

        while(k0--)

        {

            int x=read();

            optL=pre,optR=x-1; if(optL<=optR) trEdAdd(rt,1,n);

            pre=x+1; edAdd(cnt,id[x],0);

        }

        optL=pre,optR=R; if(optL<=optR) trEdAdd(rt,1,n);

    }

    for(int u=1;u<=cnt;u++) if(!in[u]) val[u]=max(1,a[u]),Q.push(u);

    bool noAns=false;

    while(!noAns&&!Q.empty())

    {

        int u=Q.front(); Q.pop();

        if(a[u]&&val[u]>a[u]) {noAns=true; break;}

        for(int i=0;i<son[u].size();i++)

        {

            int v=son[u][i].first,w=son[u][i].second;

            val[v]=max(val[v],val[u]+w);

            if(--in[v]==0) Q.push(v);

        }

    }

    for(int u=1;u<=cnt&&!noAns;u++) if(in[u]||val[u]>1e9) noAns=true;

    if(noAns) {puts("NIE"); return 0;}

    puts("TAK");

    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",val[id[i]]);

    puts("");

    return 0;

}

P.S.

每个数都在$[1,10^9]$范围内！ 意思是说如果你推出来有的数大于$10^9$就是无解，坑我半天...