Codeforces1153F Serval and Bonus Problem 【组合数】

题目分析：

我们思考正好被k个区间覆盖的情况，那么当前这个子段是不是把所有的点分成了两个部分，那么在两个部分之间相互连k条线，再对于剩下的分别连线就很好了？这个东西不难用组合数写出来。

然后我们要证明每个区间的期望长度是点数加一分之一，这个很容易，归纳法证明就行了。

代码：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 const int mod = ;

 int n,k,l;
 int f[];
 int fac[],inv[],pw[];

 int C(int nn,int kk){
     return 1ll*fac[nn]*inv[kk]%mod*inv[nn-kk]%mod;
 }
 int A(int nn,int kk){
     return 1ll*fac[nn]*inv[nn-kk]%mod;
 }

 int fast_pow(int now,int pw){
     int ans = ,dt = now,bit = ;
     while(bit <= pw){
     if(bit & pw){ans = 1ll*ans*dt%mod;}
     dt = 1ll*dt*dt%mod; bit<<=;
     }
     return ans;
 }

 int work(int rm){
     int ll = ,r = *n;int Rp = fast_pow(f[*n],mod-);
     int ans = ;
     while(r>=){
     int now = C(ll,rm),im = A(r,rm);
     int res = 1ll*now*im%mod*f[ll-rm]%mod*f[r-rm]%mod*pw[rm]%mod;
     res = 1ll*res*Rp%mod;
     ans += res; ans%=mod;
     ll++; r--;
     }
     ans = 1ll*ans*fast_pow(*n+,mod-)%mod*l%mod;
     return ans;
 }

 int main(){
     scanf("%d%d%d",&n,&k,&l);
     f[] = ;fac[] = ;pw[] = ;
     for(int i=;i<=*n;i++) pw[i] = *pw[i-]%mod,fac[i] = 1ll*fac[i-]*i%mod;
     for(int i=;i<=*n;i++){
     f[i] = 2ll*f[i-]%mod*(i-)%mod;
     }
     inv[*n] = fast_pow(fac[*n],mod-);
     for(int i=*n-;i>=;i--) inv[i] = 1ll*inv[i+]*(i+)%mod;
     int ans = ;
     for(int i=k;i<=n;i++) ans += work(i),ans%=mod;
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }