[BZOJ]1027 合金(JSOI2007)

　　不知道该如何评价吧，很神的一道题，就算是10年前的题目也不可小觑啊。

Description

　　某公司加工一种由铁、铝、锡组成的合金。他们的工作很简单。首先进口一些铁铝锡合金原材料，不同种类的原材料中铁铝锡的比重不同。然后，将每种原材料取出一定量，经过融解、混合，得到新的合金。新的合金的铁铝锡比重为用户所需要的比重。现在，用户给出了n种他们需要的合金，以及每种合金中铁铝锡的比重。公司希望能够订购最少种类的原材料，并且使用这些原材料可以加工出用户需要的所有种类的合金。

Input

　　第一行两个整数m和n，分别表示原材料种数和用户需要的合金种数。第2到m + 1行，每行三个实数a, b, c，分别表示铁铝锡在一种原材料中所占的比重。第m + 2到m + n + 1行，每行三个实数a, b, c，分别表示铁铝锡在一种用户需要的合金中所占的比重。

Output

　　一个整数，表示最少需要的原材料种数。若无解，则输出–1。

Sample Input

　　10 10
　　0.1 0.2 0.7
　　0.2 0.3 0.5
　　0.3 0.4 0.3
　　0.4 0.5 0.1
　　0.5 0.1 0.4
　　0.6 0.2 0.2
　　0.7 0.3 0
　　0.8 0.1 0.1
　　0.9 0.1 0
　　1 0 0
　　0.1 0.2 0.7
　　0.2 0.3 0.5
　　0.3 0.4 0.3
　　0.4 0.5 0.1
　　0.5 0.1 0.4
　　0.6 0.2 0.2
　　0.7 0.3 0
　　0.8 0.1 0.1
　　0.9 0.1 0
　　1 0 0

Sample Output

HINT

　　m, n ≤ 500，a, b, c ≥ 0 且 a + b + c = 1。

Solution

　　先说一个结论：设v1,v2...vn是n个向量，a1,a2...an是n个未知常数，且a1+a2+...+an=定值d。

　　那么合成向量V=a1v1+a2v2+...+anvn一定位于向量dv1,dv2...dvn构成的凸包内。

　　不知道怎么证明的可以先从两个向量的情况开始YY一下，小C就不多做解释了。

　　所以这题想干啥？三维凸包？仔细一想还不一定是凸包，因为它要求点数最少。

　　我们发现这个向量实际上是只有两维的，因为确定了两维之后，第三维是完全确定的。

　　所以就只剩两维了，但还是不能从凸包入手，怎么办？这时我们需要一些窒息操作。

　　题目要求我们在m个点中求一个点数（边数）最小的多边形，把n个点全部包在内。

　　这个多边形上的边一定满足所有n个点都在这条边的一侧。

　　所以找这个多边形就相当于从一个点出发，每次只走n个点都在一侧的边，走最少的边数，回到起点！

　　所以问题就变成了在有向图上找最短长度的环！最短路径问题！！

　　m只有500，用Floyd就行，为了拿排名你可以选择Dijkstra，由于边长只有1你甚至可以bfs。

　　注意一开始要把答案为1和答案为2的情况特判掉。

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#include <cmath>

#define INF 0x3FFFFFFF

#define MN 505

#define eps 1e-12

using namespace std;

struct vec

{

    double x,y;

    friend vec    operator-(const vec& a,const vec& b) {return (vec){a.x-b.x,a.y-b.y};}

    friend double operator/(const vec& a,const vec& b) {return a.x*b.y-a.y*b.x;}

    friend double abs(const vec& a) {return a.x*a.x+a.y*a.y;}

}a[MN],b[MN];

int dis[MN][MN];

int n,m,ans;

inline int read()

{

    int n=,f=; char c=getchar();

    while (c<'' || c>'') {if(c=='-')f=-; c=getchar();}

    while (c>='' && c<='') {n=n*+c-''; c=getchar();}

    return n*f;

}

bool cmp1(const vec& A,const vec& B) {return A.y<B.y || A.y==B.y && A.x<B.x;}

bool check(const vec& A,const vec& B)

{

    vec AB=B-A;

    for (register int i=;i<=m;++i)

        if (AB/(b[i]-A)<-eps) return false;

    return true;

}

int main()

{

    register int i,j,k;

    double z;

    n=read(); m=read();

    for (i=;i<=n;++i) scanf("%lf%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y,&z);

    for (i=;i<=m;++i) scanf("%lf%lf%lf",&b[i].x,&b[i].y,&z);

    for (i=;i<=n;++i)

    {

        for (j=;j<=m;++j) if (a[i].x!=b[j].x||a[i].y!=b[j].y) break;

        if (j>m) return *printf("");

    }

    sort(a+,a+n+,cmp1);

    for (i=;i<n;++i)

        for (j=i+;j<=n;++j)

        {

            for (k=;k<=m;++k)

            {

                if (fabs((b[k]-a[i])/(a[j]-a[i]))>eps) break;

                if (a[i].y!=a[j].y) {if (b[i].y<a[i].y||b[i].y>a[j].y) break;}

                else {if (b[i].x<a[i].x||b[i].x>a[j].x) break;}

            }

            if (k>m) return *printf("");

        }

    memset(dis,,sizeof(dis));

    for (i=;i<=n;++i)

        for (j=;j<=n;++j)

            if (i!=j&&check(a[i],a[j])) dis[i][j]=;

    for (k=;k<=n;++k)

        for (i=;i<=n;++i)

            for (j=;j<=n;++j)

                dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);

    ans=dis[][];

    for (i=;i<=n;++i) if (dis[i][i]>) ans=min(ans,dis[i][i]);

    if (ans==dis[][]) return *printf("-1");

    printf("%d",ans);

}

Last Word

　　从计算几何转化为图论模型，这种题目还真是少见啊，转化这种东西没有一定的脑洞还真没法想出来。