[BZOJ]1027 合金(JSOI2007)
不知道该如何评价吧,很神的一道题,就算是10年前的题目也不可小觑啊。
Description
某公司加工一种由铁、铝、锡组成的合金。他们的工作很简单。首先进口一些铁铝锡合金原材料,不同种类的原材料中铁铝锡的比重不同。然后,将每种原材料取出一定量,经过融解、混合,得到新的合金。新的合金的铁铝锡比重为用户所需要的比重。 现在,用户给出了n种他们需要的合金,以及每种合金中铁铝锡的比重。公司希望能够订购最少种类的原材料,并且使用这些原材料可以加工出用户需要的所有种类的合金。
Input
第一行两个整数m和n,分别表示原材料种数和用户需要的合金种数。第2到m + 1行,每行三个实数a, b, c,分别表示铁铝锡在一种原材料中所占的比重。第m + 2到m + n + 1行,每行三个实数a, b, c,分别表示铁铝锡在一种用户需要的合金中所占的比重。
Output
一个整数,表示最少需要的原材料种数。若无解,则输出–1。
Sample Input
10 10
0.1 0.2 0.7
0.2 0.3 0.5
0.3 0.4 0.3
0.4 0.5 0.1
0.5 0.1 0.4
0.6 0.2 0.2
0.7 0.3 0
0.8 0.1 0.1
0.9 0.1 0
1 0 0
0.1 0.2 0.7
0.2 0.3 0.5
0.3 0.4 0.3
0.4 0.5 0.1
0.5 0.1 0.4
0.6 0.2 0.2
0.7 0.3 0
0.8 0.1 0.1
0.9 0.1 0
1 0 0
Sample Output
5
HINT
m, n ≤ 500,a, b, c ≥ 0 且 a + b + c = 1。
Solution
先说一个结论:设v1,v2...vn是n个向量,a1,a2...an是n个未知常数,且a1+a2+...+an=定值d。
那么合成向量V=a1v1+a2v2+...+anvn一定位于向量dv1,dv2...dvn构成的凸包内。
不知道怎么证明的可以先从两个向量的情况开始YY一下,小C就不多做解释了。
所以这题想干啥?三维凸包?仔细一想还不一定是凸包,因为它要求点数最少。
我们发现这个向量实际上是只有两维的,因为确定了两维之后,第三维是完全确定的。
所以就只剩两维了,但还是不能从凸包入手,怎么办?这时我们需要一些窒息操作。
题目要求我们在m个点中求一个点数(边数)最小的多边形,把n个点全部包在内。
这个多边形上的边一定满足所有n个点都在这条边的一侧。
所以找这个多边形就相当于从一个点出发,每次只走n个点都在一侧的边,走最少的边数,回到起点!
所以问题就变成了在有向图上找最短长度的环!最短路径问题!!
m只有500,用Floyd就行,为了拿排名你可以选择Dijkstra,由于边长只有1你甚至可以bfs。
注意一开始要把答案为1和答案为2的情况特判掉。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define INF 0x3FFFFFFF
#define MN 505
#define eps 1e-12
using namespace std;
struct vec
{
double x,y;
friend vec operator-(const vec& a,const vec& b) {return (vec){a.x-b.x,a.y-b.y};}
friend double operator/(const vec& a,const vec& b) {return a.x*b.y-a.y*b.x;}
friend double abs(const vec& a) {return a.x*a.x+a.y*a.y;}
}a[MN],b[MN];
int dis[MN][MN];
int n,m,ans; inline int read()
{
int n=,f=; char c=getchar();
while (c<'' || c>'') {if(c=='-')f=-; c=getchar();}
while (c>='' && c<='') {n=n*+c-''; c=getchar();}
return n*f;
} bool cmp1(const vec& A,const vec& B) {return A.y<B.y || A.y==B.y && A.x<B.x;}
bool check(const vec& A,const vec& B)
{
vec AB=B-A;
for (register int i=;i<=m;++i)
if (AB/(b[i]-A)<-eps) return false;
return true;
} int main()
{
register int i,j,k;
double z;
n=read(); m=read();
for (i=;i<=n;++i) scanf("%lf%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y,&z);
for (i=;i<=m;++i) scanf("%lf%lf%lf",&b[i].x,&b[i].y,&z);
for (i=;i<=n;++i)
{
for (j=;j<=m;++j) if (a[i].x!=b[j].x||a[i].y!=b[j].y) break;
if (j>m) return *printf("");
}
sort(a+,a+n+,cmp1);
for (i=;i<n;++i)
for (j=i+;j<=n;++j)
{
for (k=;k<=m;++k)
{
if (fabs((b[k]-a[i])/(a[j]-a[i]))>eps) break;
if (a[i].y!=a[j].y) {if (b[i].y<a[i].y||b[i].y>a[j].y) break;}
else {if (b[i].x<a[i].x||b[i].x>a[j].x) break;}
}
if (k>m) return *printf("");
}
memset(dis,,sizeof(dis));
for (i=;i<=n;++i)
for (j=;j<=n;++j)
if (i!=j&&check(a[i],a[j])) dis[i][j]=;
for (k=;k<=n;++k)
for (i=;i<=n;++i)
for (j=;j<=n;++j)
dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
ans=dis[][];
for (i=;i<=n;++i) if (dis[i][i]>) ans=min(ans,dis[i][i]);
if (ans==dis[][]) return *printf("-1");
printf("%d",ans);
}
Last Word
从计算几何转化为图论模型,这种题目还真是少见啊,转化这种东西没有一定的脑洞还真没法想出来。
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题解就看这位仁兄的吧-不过代码还是别看他的了- 同样的方法-我200ms,他2000ms. 常数的幽怨- CODE #include <bits/stdc++.h> using names ...
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