HDU 1028 Ignatius and the Princess III伊格和公主III(AC代码)母函数
题意:
输入一个数n,求组合成此数字可以有多少种方法,每一方法是不记录排列顺序的。用来组成的数字可以有1、2、3....n。比如n个1组成了n,一个n也组成n。这就算两种。1=1,2=1+1=2,3=3=1+2=1+1+1,而1+2和2+1只能算一种。n最大为120。
思路:关于母函数的原理不讲了。讲怎么实现几个括号相乘。
思路:
我们要算的n是等于120,把其简化为5,就是说设n最大为5,道理一样的。5一共有7种方法对吗!自己手写吧。
如果想要得出结果,那么一共有5个括号要相乘,分别如下:
为什么是5个括号?
第1个括号:最多可由5个1组成。
第2个括号:最多只能有两个2对吧?如果3个2就已经是6了,6超过5了喔~
第3~5个括号:好了,你已经学会了类推法!
怎么乘?
以初中老师教的方法是第2个括号乘以第1个括号,然后第3个括号乘以上一次相乘的结果....
一共4步,也就是n-1步,那么i=2to n是不是有n-1步?比如i=2、3、4、5,就是4步嘛。
接着,两个括号的相乘要怎么办?
在i的循环内再加一个循环,得把每一步的右边括号里的每个数都要乘以左边括号一次。那j的上下限是多少?下限为0,上限是5,即n。但是过程不是只是自增一,而是自增i个单位,为什么?第1步j的值就会为0、2、4,间隔为2,而第2步中j的值就会为0、3,间隔为3,如果n>5的话,第2步的j的值就会为0、3、6了。所以呢!j=0 to n递增方式(j+=i)。
此时就完毕了?没呢!
上一步骤只是将每一步中的右边括号拆出来逐个乘以左边括号,但是左边括号还没拆呢。对于每个j,也就是右边括号里的每个值,都得逐个乘以左边括号里的每个值。那么得再叠加一层循环了,下限为0,上限为5,即为n。又为什么?第1个括号中不是有6位吗,而每个括号中还有个1在最前面,别落下了。这里讲不出思路了,意会吧!
讲代码:
代码中ans数组先保存第1个括号中的每个系数,也就是全为1,比如ans[0]=1,ans[1]=1.....
这个数组在同一个i值的情况下不能变化,我本来想用一个数组解决,但是后来发现搞不定,所以开了个辅助数组sup。
当每次右括号中的一个数乘以左括号时,将相乘的结果累加在sup数组中,整个右括号里的数都乘过一次后,再将sup数组中的值存到ans数组中, 作为临时答案。
这样子ans中最后保存的就是所要的系数了,ans的下标代表x的几次方,比如ans[4]代表x的4次方的系数。
将整个乘法的过程自己实现一下才知道其精髓,和很多需要注意的地方,看代码实在不是好习惯。
本题可用递推、DP等方法来做,但是此题是母函数的入门经典喔~所以我用了母函数
#include <iostream>
#define N 120
using namespace std;
int ans[N+],sup[N+];//ans保存答案,sup保存临时值
void main()
{
int num=,i,j,k;
for(i=;i<N+;i++) //全部初始化为1
ans[i]=;
for(i=;i<=N;i++) // 第i个括号
{
for(j=;j<=N;j+=i) //第i个括号中的第j项
for(k=;k+j<=N;k++) //临时答案中的第k个数字
sup[j+k]+=ans[k];
for(k=;k<=N;k++) //每解决一个括号,得将答案保存,后一括号乘以此答案得出新答案
ans[k]=sup[k];
memset(sup,,sizeof(sup));//临时数组清零
}
while(cin>>k) //用c++的话得这么写才对
cout<<ans[k]<<endl;
}
1028
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